[논문 리뷰] Extended B-Spline Collocation Method For KdV-Burgers Equation

Özlem Ersoy Hepson, Alper Korkmaz외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 11.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 KdV-Burgers 방정식의 초기경계값 문제를 해결하기 위해 확장된 입방 B-스플라인 라이닝 방법과 크랭크-니콜슨 시간 이산화를 조합한 방법을 제안한다. 제3차 도함수 항을 변수 치환을 통해 감소시켜 유도된 연립방정식을 풀어 높은 정확도를 달성하였으며, 기존 방법 대비 최대 노름 오차가 최소 두 자리 수치가 향상되었다.

ABSTRACT

The extended form of the classical polynomial cubic B-spline function is used to set up a collocation method for some initial boundary value problems derived for the Korteweg-de Vries-Burgers equation. Having nonexistence of third order derivatives of the cubic B-splines forces us to reduce the order of the term uxxx to give a coupled system of equations. The space discretization of this system is accomplished by the collocation method following the time discretization with Crank-Nicolson method. Two initial boundary value problems, one having analytical solution and the other is set up with a non analytical initial condition, have been simulated by the proposed method.

연구 동기 및 목표

• KdV-Burgers 방정식의 초기경계값 문제를 고정밀도로 해결하기 위한 수치적 방법을 개발한다.
• 기본 입방 B-스플라인에서 제3차 도함수의 부재 문제를 해결하기 위해 방정식을 연립계로 변환한다.
• 공간 이산화에 대해 확장된 입방 B-스플라인을 사용하고 시간 통합에 대해 크랭크-니콜슨 방법을 적용하는 라이닝 방법을 구현한다.
• 해석적 및 비해석적 초기 조건을 가진 문제에 대해 방법을 검증하여 정확도 및 보존 성질을 입증한다.
• 확장 매개변수 λ가 해의 정확도와 안정성에 미치는 영향을 조사한다.

제안 방법

• 제3차 도함수 항을 변수 치환을 통해 제거함으로써 KdV-Burgers 방정식을 연립방정식계로 변환한다.
• 공간 라이닝을 위한 기저 함수로 확장된 입방 B-스플라인을 사용하여, 제3차 도함수가 존재하지 않음에도 불구하고 고차원 근사가 가능하도록 한다.
• 시간 이산화에 크랭크-니콜슨 방법을 적용하여 2차 정밀도와 무조건적 안정성을 확보한다.
• 비선형 항은 예측-수정 방법을 사용하여 선형화하여 각 시간 단계에서의 시스템 해를 반복적으로 구한다.
• 경계 조건은 각 시간 수준에서 주어진 값을 라이닝 방정식에 직접 대입하여 구현한다.
• 유도된 대수방정식계는 각 시간 단계에서 반복적으로 해를 구하여 시간에 따라 해를 진행시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 입방 B-스플라인에서 제3차 도함수가 존재하지 않음에도 불구하고, 확장된 입방 B-스플라인은 KdV-Burgers 방정식의 해를 효과적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 해석적 및 비해석적 초기 조건 모두에서 제안된 라이닝 방법의 정확도와 안정성은 어떻게 평가되는가?
• RQ3 확장 매개변수 λ는 수치적 해의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 질량, 운동량, 에너지와 같은 보존량을 얼마나 잘 유지하는가?
• RQ5 파동 형성과 전파에 대해 기존 방법들인 CDQ 및 PDQ와 비교했을 때 정확도는 어떠한가?

주요 결과

• 동일한 문제 설정에서 기존의 CDQ 및 PDQ 방법 대비 최대 노름 오차가 최소 두 자리 수치가 향상되었다.
• 해석적 경우에서 수치해는 정확한 해와 매우 유사했으며, 노드 수가 증가할수록 최대 오차가 감소함을 보였다.
• t = 800일 때, 주요 파동은 x = 121.2에 도달하여 높이 1.930를 기록했고, 제3의 파동은 x = 97.60에 도달하여 높이 1.703를 기록하여 안정적인 파동 전파를 보였다.
• 최저 네 가지 보존량이 계산되었고, 시간이 지남에 따라 거의 일정하게 유지되어 방법의 양호한 보존 성질을 나타냈다.
• 확장 매개변수 λ는 정확도에 상당한 영향을 미쳤으며, 최적의 값은 수렴성을 향상시키고 오차를 감소시켰다.
• 이 방법은 t = 600까지 최대 9개의 주요 파동 형성과 분열을 성공적으로 시뮬레이션하였으며, 이는 이전 연구와 일치하는 결과였다.