[논문 리뷰] Extended Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, and remainders, stability, and superweights for $L^{p}$-weighted Hardy inequalities

Michael Ruzhansky, Durvudkhan Suragan외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 05.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 전체 기울기를 반지름 도함수로 대체함으로써 고전적인 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 부등식을 확장하여, 동차 군 위에서 $L^p$-가중 하디 부등식의 날카운 상수와 잔여항 추정을 확립한다. $\frac{(a+b|x|^eta)^{eta/p}}{|x|^m}$ 형태의 새로운 초가중치를 도입하고, 임계 로그 하디 부등식을 유도하며, 반복적 통합 by parts와 하올더 부등식을 활용하여 동차 리 대칭군의 맥락에서 날카운 상수를 갖는 고차 부등식을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we give an extension of the classical Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities: we show that for $1<p,q<\\infty$, $0<r<\\infty$ with $p+q\\geq r$, $\\delta\\in[0,1]\\cap\\left[\\frac{r-q}{r},\\frac{p}{r}\ ight]$ with $\\frac{\\delta r}{p}+\\frac{(1-\\delta)r}{q}=1$ and $a$, $b$, $c\\in\\mathbb{R}$ with $c=\\delta(a-1)+b(1-\\delta)$, and for all functions $f\\in C_{0}^{\\infty}(\\mathbb{R}^{n}\\backslash\\{0\\})$ we have $$ \\||x|^{c}f\\|_{L^{r}(\\mathbb{R}^{n})} \\leq \\left|\\frac{p}{n-p(1-a)}\ ight|^{\\delta} \\left\\||x|^{a}\ abla f\ ight\\|^{\\delta}_{L^{p}(\\mathbb{R}^{n})} \\left\\||x|^{b}f\ ight\\|^{1-\\delta}_{L^{q}(\\mathbb{R}^{n})} $$ for $n\ eq p(1-a)$, where the constant $\\left|\\frac{p}{n-p(1-a)}\ ight|^{\\delta}$ is sharp for $p=q$ with $a-b=1$ or $p\ eq q$ with $p(1-a)+bq\ eq0$. In the critical case $n=p(1-a)$ we have $$ \\left\\||x|^{c}f\ ight\\|_{L^{r}(\\mathbb{R}^{n})} \\leq p^{\\delta} \\left\\||x|^{a}\\log|x|\ abla f\ ight\\|^{\\delta}_{L^{p}(\\mathbb{R}^{n})} \\left\\||x|^{b}f\ ight\\|^{1-\\delta}_{L^{q}(\\mathbb{R}^{n})}. $$ Moreover, we also obtain anisotropic versions of these inequalities which can be conveniently formulated in the language of Folland and Stein's homogeneous groups. Consequently, we obtain remainder estimates for $L^{p}$-weighted Hardy inequalities on homogeneous groups, which are also new in the Euclidean setting of $\\mathbb{R}^{n}$. The critical Hardy inequalities of logarithmic type and uncertainty type principles on homogeneous groups are obtained. Moreover, we investigate another improved version of $L^{p}$-weighted Hardy inequalities involving a distance and stability estimates. We also establish sharp Hardy type inequalities in $L^{p}$, $1<p<\\infty$, with superweights, i.e. with the weights of the form $\\frac{(a+b|x|^{\\alpha})^{\\frac{\\beta}{p}}}{|x|^{m}}$ allowing for different choices of $\\alpha$ and $\\beta$.

연구 동기 및 목표

• 전체 기울기를 반지름 도함수로 대체함으로써 고전적인 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 부등식을 확장하고, 날카움과 적용 가능성의 향상을 도모한다.
• 동차 군의 맥락에서 $L^p$-가중 하디 부등식에 대한 잔여항 추정과 안정성 경계를 도출한다.
• 동차 군에서 임계 로그 하디 부등식과 불확실성 원리 수립.
• 임의의 동차 준노름과 융통성 있는 매개변수 $\alpha$, $\beta$, $m$, $a$, $b$를 갖는 초가중치로 정의된 $L^p$-하디 부등식을 도입하고 분석함으로써 더 넓은 적용 가능성을 확보한다.
• 임계 및 부분임계 하디 부등식 간의 관계를 조사하고, 반복적 방법을 통해 고차 부등식을 증명한다.

제안 방법

• 전체 기울기 $|\nabla f|$ 대신 반지름 도함수 $\mathcal{R}f = \frac{x}{|x|} \cdot \nabla f$를 사용하여 이방향 $L^p$-가중 하디 부등식을 유도함으로써 날카움과 안정성을 향상시킨다.
• 동차 리 대칭군 $\mathbb{G}$와 동차 차원 $Q$의 맥락에서 극좌표에서의 반지름 적분을 활용하여 통합 by parts와 하올더 부등식을 적용한다.
• 초가중치 $\frac{(a+b|x|^\alpha)^{\beta/p}}{|x|^m}$를 도입하며, 여기서 $a,b>0$, $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$이며, $|x|$는 동차 준노름이다. 이는 고전적 하디 가중치를 일반화한다.
• 주요 부등식을 반복 적용하여 반지름 도함수 $\mathcal{R}^k f$를 포함하는 고차 하디 유형 부등식을 도출하며, $Q$, $p$, $m$, $\alpha$, $\beta$에 따라 달라지는 날카운 상수를 확보한다.
• 동차 함수 $f(x) = |x|^C$, $C \neq 0$를 사용하여 하올더 부등식에서 등호 조건을 검증함으로써 상수의 날카움을 입증한다.
• 컴actness 상실을 고려하기 위해 $|\nabla f|$를 $|\nabla f| \log |x|$로 대체함으로써 $n = p(1-a)$인 경우 임계 하디 부등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 기울기 대신 반지름 도함수를 사용하여 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 부등식을 확장할 수 있으며, 이 경우의 날카운 상수는 무엇인가?
• RQ2 동차 군에서 $L^p$-가중 하디 부등식에 대한 잔여항 추정과 안정성 경계는 무엇인가?
• RQ3 임계 경우 $n = p(1-a)$에서 로그 가중치를 갖는 임계 하디 부등식은 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 초가중치 $\frac{(a+b|x|^\alpha)^{\beta/p}}{|x|^m}$를 갖는 $L^p$-하디 부등식이 날카롭고 유효한 조건은 무엇인가?
• RQ5 반지름 도함수를 포함하는 고차 하디 부등식은 일阶 부등식과 어떻게 관련되어 있으며, 그 날카운 상수는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $n \neq p(1-a)$에 대해, 주어진 매개변수 조건 하에서 부등식 $\||x|^c f\|_{L^r} \leq \left|\frac{p}{n - p(1-a)}\right|^\delta \||x|^a \mathcal{R}f\|_{L^p}^\delta \||x|^b f\|_{L^q}^{1-\delta}$ 가 성립하며, 날카운 상수 $\left|\frac{p}{n - p(1-a)}\right|^\delta$ 를 갖는다.
• 임계 경우 $n = p(1-a)$에서는 부등식이 $\||x|^c f\|_{L^r} \leq p^\delta \||x|^a \log|x| \mathcal{R}f\|_{L^p}^\delta \||x|^b f\|_{L^q}^{1-\delta}$ 로 변형되며, 로그 보정 항이 포함된다.
• 초가중치 부등식에서 상수 $\frac{Q - pm - p + \alpha\beta}{p}$ 는 날카롭고, 동차 함수 $f(x) = |x|^C$ 에서 하올더 부등식의 등호 조건이 성립할 때 도달된다.
• 동차 군 $\mathbb{G}$ 에서 고차 부등식 $\left[\prod_{j=0}^{k-1} \left(\frac{Q-p}{p} - (m+j)\right)\right] \left\| \frac{(a+b|x|^\alpha)^{\beta/p}}{|x|^{m+k}} f \right\|_{L^p} \leq \left\| \frac{(a+b|x|^\alpha)^{\beta/p}}{|x|^m} \mathcal{R}^k f \right\|_{L^p}$ 는 $\alpha\beta > 0$ 이고 $pm \leq Q - p$ 인 조건 하에서 성립한다.
• $\alpha\beta < 0$ 이고 $pm - \alpha\beta \leq Q - p$ 인 조건 하에 쌍대 고차 부등식이 성립하며, 수정된 상수 $\frac{Q - p + \alpha\beta}{p} - (m+j)$ 를 갖는다. 이는 매개변수 영역 전반에 걸쳐 방법의 강건성을 입증한다.