[논문 리뷰] Extended (Conventional) Co-Prime Arrays and Difference Set Analysis: Low Latency Approach

Usham V. Dias|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 11.

Direction-of-Arrival Estimation Techniques참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확장된(기존의) 공약수 배열에서 가중 함수, 상관편향 창, 분산에 대한 폐쇄형 표현식을 도출하여 저지연 2차 통계 추정을 가능하게 한다. $ M \approx \frac{N}{2} $를 선택할 경우 부가로 에너지를 최소화하며, 계산 복잡도를 감소시켜 스펙트럼 추정 정확도를 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

The co-prime array is a sub-Nyquist acquisition scheme for the estimation of second order statistics. It cannot generate all the difference values in the co-prime range and hence, one of the sub-array is extended to enable the estimation of the second order statistics at each difference value in the co-prime range. Recently, the difference set for the co-prime array was studied and low latency temporal spectrum estimation was demonstrated. In this paper, the fundamentals of the difference set of the extended co-prime array, also known as the conventional co-prime array, is developed. The closed-form equations for the weight function, correlogram bias window, and the variance are described. This is provided for the entire difference set, continuous difference set and for the prototype co-prime period. It is shown that the choice of $M\approx \frac{N}{2}$ generates a bias function with a large relative amplitude between the main-lobe and side-lobe peaks, where $M$ and $N$ are co-prime pairs. The expressions for the number of multiplications and additions required to compute the autocorrelation for the entire, continuous, and prototype range is derived. Simulation results demonstrate low latency spectrum estimation using the correlogram method.

연구 동기 및 목표

• 확장된 공약수 배열에서 상관도 추정법의 가중 함수, 편향 창, 분산에 대한 폐쇄형 표현식을 유도하는 것.
• 상관도 추정법을 사용하여 전력 스펙트럼 및 자기상관과 같은 2차 통계 추정을 저지연으로 수행할 수 있도록 하는 것.
• 배열 구성이 스펙트럼 추정 정확도에 미치는 영향을 분석하며, 특히 $ M $과 $ N $이 부가로 에너지를 최소화하는 데서의 역할을 규명하는 것.
• 자기상관 추정에 필요한 곱셈 및 덧셈 횟수를 유도하여 계산 복잡도를 정량화하는 것.
• 다양한 스펙트럼 피크 시나리오에서 이론적 모델을 시뮬레이션을 통해 검증하는 것.

제안 방법

• 정수 내림함수와 공약수 쌍의 성질을 사용하여 전체 차이 집합, 연속 집합, 프로토타입 공약수 범위에 대한 가중 함수 $ z_{e_c}(l) $ 를 유도한다.
• 가중 함수의 푸리에 변환으로서 편향 창을 설정하여 상관도 추정에서의 스펙트럼 왜곡을 모델링한다.
• 가중 함수의 자기상관과 신호 전력에 기반하여 상관도 추정의 분산을 유도한다.
• 전체, 연속, 프로토타입 차이 집합에 대해 자기상관을 계산하는 데 필요한 곱셈 및 덧셈 횟수를 세어 계산 비용을 산정한다.
• 한 하위 배열을 공약수 주기로 한 칸 더 연장하여 공약수 범위를 완전히 커버할 수 있도록 시간 샘플링 프레임워크를 사용한다.
• 10개의 스태프샷을 사용한 시뮬레이션을 통해 이론적 표현식을 검증하며, 다양한 $ (M,N) $ 조합 간의 스펙트럼 추정을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 차이 집합에 대해 확장된 공약수 배열의 가중 함수와 편향 창을 폐쇄형으로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 부가로 에너지를 최소화하기 위해 $ M $과 $ N $의 최적 선택, 특히 $ M \approx N/2 $는 무엇인가?
• RQ3 확장된 공약수 배열에서 자기상관 추정의 계산 복잡도는 차이 집합 크기와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 편향 창 왜곡이 다중 스펙트럼 피크에 대한 스펙트럼 추정 정확도에 미치는 영향은 어느 정도인가?
• RQ5 유도된 표현식은 $ M > N $ 및 $ N > M $의 경우로 일반화 가능한가? 어떤 구성이 더 나은 메인로브 대 부가로브 진폭 비율을 제공하는가?

주요 결과

• $ M \approx \frac{N}{2} $를 선택할 경우, 메인로브와 부가로브 피크 사이의 상대적 진폭이 크므로 스펙트럼 왜곡이 감소한다.
• 유도된 가중 함수 $ z_{e_c}(l) $ 는 전체 차이 집합, 연속 집합, 프로토타입 공약수 범위 모두에 대해 유효하며, 내림함수를 포함한 명시적 표현식을 갖는다.
• 전체, 연속, 프로토타입 차이 집합에 대해 자기상관 추정에 필요한 곱셈 및 덧셈 횟수를 유도하였다.
• 시뮬레이션 결과 $ (M,N) = (3,7) $ 이 단일 피크 및 세 피크 스펙트럼 추정 모두에서 우수한 성능을 보이며, 다중 피크 시나리오에서 $ (3,8) $ 보다 뛰어나다.
• 편향 창 표현식은 상관도 스펙트럼 추정의 컨볼루션 왜곡을 정확히 모델링하여 이론적 프레임워크의 타당성을 입증한다.
• 상관도 추정의 분산은 해석적으로 유도되었으며, 가중 함수의 자기상관과 신호 전력에 의존함을 보였다.