[논문 리뷰] Extended letterplace correspondence for nongraded noncommutative ideals and related algorithms

Roberto La Scala|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 26.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비등급 비가환 아이디얼로의 레터플레이스 대응을 확장하기 위해 레터플레이스 아이디얼에 대한 L-포화를 도입함으로써, 동차 교환 다항식을 통한 비동차 비가환 그로브너 기저의 계산을 가능하게 한다. 이 방법은 표준 교환 알고리즘을 사용하여 가환 및 비가환 그로브너 기저 계산을 통합하며, Maple 및 Singular 구현을 통한 실험 결과는 이 방법의 실현 가능성과 효율성을 확인한다.

ABSTRACT

Let $K\ < x_i\ >$ be the free associative algebra generated by a finite or countable number of variables $x_i$. The notion of "letterplace correspondence" introduced in [1,2] for the graded (two-sided) ideals of $K\ < x_i\ >$ is extended in this paper also to the nongraded case. This amounts to the possibility of modelizing nongraded noncommutative presented algebras by means of a class of graded commutative algebras that are invariant under the action of the monoid $\mathbb N$ of natural numbers. For such purpose we develop the notion of saturation for the graded ideals of $K\ < x_i,t\ >$, where $t$ is an extra variable and for their letterplace analogues in the commutative polynomial algebra $K[x_{ij},t_j]$, where $j$ ranges in $\mathbb N$. In particular, one obtains an alternative algorithm for computing inhomogeneous noncommutative Gröbner bases using just homogeneous commutative polynomials. The feasibility of the proposed methods is shown by an experimental implementation developed in the computer algebra system Maple and by using standard routines for the Buchberger algorithm contained in Singular. References [1] La Scala, R.; Levandovskyy, V., Letterplace ideals and non-commutative Gröbner bases. J. Symbolic Comput., 44 (2009), 1374--1393. [2] La Scala, R.; Levandovskyy, V., Skew polynomial rings, Gröbner bases and the letterplace embedding of the free associative algebra. J. Symbolic Comput., 48 (2013), 110--131

연구 동기 및 목표

• 자유 결합 대수에서 등급이 없는 양방향 아이디얼로의 레터플레이스 대응을 등급이 있는 경우에서 확장하기.
• 확장된 자유 대수 $ K\langle X, t\rangle $의 등급이 있는 아이디얼과 그 레터플레이스 해석에 대한 포화 이론을 개발하기.
• 모든 $ K\langle X\rangle $의 아이디얼과 $ K[\bar{X} \times \mathbb{N}^*] $의 $ L $-포화된 레터플레이스 아이디얼 사이의 전단사 관계를 수립하여 알고리즘적 처리를 가능하게 하기.
• 오직 동차 교환 다항식만을 사용하여 비동차 비가환 그로브너 기저를 계산하는 대안 알고리즘을 제공하기.
• Maple 및 Singular에서의 실험적 구현을 통해 이 방법의 실용적 실현 가능성과 효율성을 입증하기.

제안 방법

• 레터플레이스 대수 $ K[X \times \mathbb{N}^*] $의 장소 인덱스에 $ \mathbb{N} $의 모노이드 작용을 도입하여 다중등급을 유도하기.
• 장소 다중등급 하에서 다중선형 원소만을 포함하는 포화 성질로 레터플레이스 아이디얼에 대한 $ L $-포화를 정의하기.
• $ \bar{X} = X \cup \{t\} $일 때, $ K\langle X\rangle $의 모든 양방향 아이디얼과 $ K[\bar{X} \times \mathbb{N}^*] $의 $ L $-포화된 다중등급 아이디얼 사이의 전단사 관계를 구성하기.
• 레터플레이스 대응을 사용하여 비가환 아이디얼을 이동 연산자에 관해 불변인 교환 아이디얼로 매핑하기.
• Singular에서 표준 Buchberger 루틴을 사용하여 알고리즘을 구현하고, Maple에서 테스트하며, 동차 교환 그로브너 기저 계산을 활용하기.
• 헤크 대수, 보편 포괄 대수, 템퍼리-라이브 대수에서 비동차 관계의 비가환 그로브너 기저 계산에 이 방법을 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비등급 비가환 아이디얼, 즉 자연스럽게 다중등급이 되지 않는 아이디얼로의 레터플레이스 대응을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 비등급 아이디얼의 구조를 유지하기 위해 필요한 충분한 포화 조건은 무엇인가?
• RQ3 이 확장된 대응을 통해 오직 동차 교환 다항식만을 사용하여 비동차 비가환 그로브너 기저를 계산할 수 있는가?
• RQ4 레터플레이스 설정에서 이동 연산자를 적용하는 데 드는 계산 비용은 표준 비가환 그로브너 기저 알고리즘에 비해 얼마나 되는가?
• RQ5 기존의 교환 컴퓨터 대수 시스템이 이 방법을 통해 비가환 그로브너 기저를 계산하는 데 얼마나 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 확장된 레터플레이스 대응은 $ K\langle X\rangle $의 모든 양방향 아이디얼과 $ K[\bar{X} \times \mathbb{N}^*] $의 $ L $-포화된 레터플레이스 아이디얼 사이의 전단사 관계를 수립하여, 비등급 아이디얼의 완전한 알고리즘 처리를 가능하게 한다.
• 이 방법은 오직 동차 교환 다항식만을 사용하여 비동차 비가환 그로브너 기저를 계산할 수 있게 하여, 동차 및 비동차 경우의 처리를 통합한다.
• Maple 및 Singular에서의 실험 결과는 표준 FreeGBasis 알고리즘 버전이 기본 버전보다 일반적으로 더 효율적임을 보이며, 특히 lie7와 같은 복잡한 예제에서 두드러진다.
• lie7, heckeD, g3332와 같은 예제들에서, degree bound가 $ \geq 2d-1 $일 때 알고리즘이 완전성을 확보하며, 포화의 계산적 증명을 제공한다.
• Singular의 'std' 함수가 heckeAd15, heckeEd10, teli9d9에 대해 각각 0.26, 0.34, 1.01초가 소요된 것으로 나타나, 커널 최적화 구현에 대한 실현 가능성은 확인된다.
• 이 접근법은 계산적으로 실현 가능하며, 표준 교환 컴퓨터 대수 시스템을 통한 새로운 비가환 계산을 가능하게 한다.