[논문 리뷰] Extended PID Control of Nonlinear Uncertain Systems

Cheng Zhao, Lei Guo|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 04.

Extremum Seeking Control Systems참고 문헌 26인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 고차수 애핀 비선형 불확실 시스템을 위한 확장된 PID 제어 프레임워크를 제안하며, 순수 피드백 형식과 같은 특수한 시스템 구조가 필요 없이 전역적 또는 준전역적 지수 안정성을 입증한다. 이 방법은 제어 이득의 비유계 매개변수 다양체를 사용하여, 심한 불확실성과 비선형성 하에서도 조절 오차가 지수적으로 0으로 수렴하도록 보장한다.

ABSTRACT

Since the classical proportional-integral-derivative (PID) controller is the most widely and successfully used ones in industrial processes, it is of vital importance to investigate theoretically the rationale of this ubiquitous controller in dealing with nonlinearity and uncertainty. Recently, we have investigated the capability of the classical PID control for second order nonlinear uncertain systems and provided some analytic design methods for the choices of PID parameters, where the system is assumed to be in the canonical form of cascade integrators. In this paper, we will consider the natural extension of the classical PID control for high order affine-nonlinear uncertain systems. In contrast to most of the literature on controller design of nonlinear systems, we do not require such special system structures as pure-feedback form, thanks to the strong robustness of the extend PID controller. To be specific, we will show that under some suitable conditions on nonlinearity and uncertainty of the systems, the extended PID controller can globally(or semi-globally) stabilize the nonlinear uncertain systems, and at the same time the regulation error converges to $0$ exponentially fast, as long as the control parameters are chosen from an open unbounded parameter manifold.

연구 동기 및 목표

• 고전적 PID 제어의 강건성과 효과성을 2차를 초월하는 비선형, 불확실 시스템에 이론적으로 입증하는 것.
• 고차수 단일입력단일출력(SISO) 애핀 비선형 시스템에 고전적 PID 제어를 확장하는 것.
• 확장된 PID 제어기가 순수 피드백 구조나 표준형 구조를 요구하지 않고도 전역적 또는 준전역적 지수 안정성을 보장할 수 있는 조건을 설정하는 것.
• 도함수 측정이 불가능한 문제에 대응하기 위해 고이득 미분 관측기를 통합하는 것.
• 제어기 성능이 이득의 넓고 비유계 매개변수 다각체를 통해 강건해지고 실용적인 튜닝 가능성이 향상됨을 보여주는 것.

제안 방법

• n차수 시스템에 대해 (n+1)차원 매개변수 다양체로 확장된 PID 제어기를 도입하여, 고전적 PID를 고차수 동역학으로 일반화한다.
• 미분동형사상에 의한 좌표 변환을 통해 시스템 구조를 분석하고, 순수 피드백 또는 계단형 적분기 형식과 같은 제한적인 가정을 피한다.
• 직접 측정이 불가능한 경우 조절 오차의 도함수를 추정하기 위해 고이득 미분 관측기를 사용한다.
• 리아푸노프 기반 안정성 분석을 적용하여, 약한 비선형 성장 조건 하에서도 조절 오차가 지수적으로 0으로 수렴하는 것을 증명한다.
• 제어기 매개변수가 열린 비유계 다양체 내에 있을 경우 전역적 또는 준전역적 안정성이 확보됨을 입증한다.
• 시스템 비선형성과 불확실성에 대한 구조적 가정(A), (B), (C)에 기반하며, 변환의 역자기열의 초선형 성장 조건을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 PID 제어는 2차를 초월하는 고차수 비선형 불확실 시스템을 안정화하기 위해 이론적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 시스템의 비선형성과 불확실성에 어떤 조건이 충족되어야 확장된 PID 제어기가 전역적 또는 준전역적 지수 안정성을 달성할 수 있는가?
• RQ3 제어기가 순수 피드백 또는 계단형 적분기 형식과 같은 특수한 시스템 형식을 요구하지 않고도 충분히 강건한가?
• RQ4 도함수 측정이 불가능한 상황에서 고이득 미분 관측기를 통합할 경우 안정성과 수렴 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비유계 매개변수 다양체가 제어기의 강건성과 실용적 튜닝 가능성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 확장된 PID 제어기는 약한 구조적 가정 하에 고차수 애핀 비선형 불확실 시스템의 전역적 또는 준전역적 지수 안정성을 보장한다.
• 제어기 매개변수가 열린 비유계 다양체에서 선택된 한, 임의의 초기 상태에 대해 조절 오차가 지수적으로 0으로 수렴한다.
• 이론적 강건성 덕분에, 미분동형사상에 의한 표준형으로의 변환 필요 없이도 시스템이 표준형으로 변환될 필요가 없다.
• 오차 도함수가 측정 불가능한 경우에도 고이득 미분 관측기를 통해 동일한 지수 안정성과 수렴 결과를 달성할 수 있다.
• 가정(C)에서 요구하는 초선형 성장 조건은 필수적이다. 이를 하위초선형 성장(예: 로그 함수)으로 약화시키면 유한 시간 내에 해가 발산하게 되어 전역 안정성이 무너진다.
• 반례를 통해 역자기열의 성장 조건을 초선형 속도를 초월해 완화시키면, 유계 초깃값과 제어기 이득 조건 하에서도 해가 유한 시간 내에 폭발함을 입증한다.