[논문 리뷰] EXTENDED QUANTUM MECHANICS

B Pavel|arXiv (Cornell University)|2000. 01. 01.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 79인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 밀도 행렬의 다양체 위에서 비상대성 양자역학을 파동함수의 파동함수의 기댓값으로 정의된 관측량을 갖는 파울슨계로 재구성함으로써 비상대성 양자역학을 확장한다. 비선형 대칭 생성자와 밀도 행렬의 연산자 값 함수를 도입함으로써 표준 양자역학은 혼합 상태, 준고전적 근사, 비선형 확장까지 포함하는 보다 넓은 이론인 확장 양자역학(Extended Quantum Mechanics, EQM)으로 일반화되며, 이는 C*-대수 양자이론 내에 포함됨을 보여준다.

ABSTRACT

The work can be considered as an essay on mathematical and conceptual structure of nonrelativistic quantum mechanics (QM) which is related here to some other (more general, but also to more special and “approximative”) theories. QM is here primarily reformulated in an equivalent form of a Poisson system on the phase space consisting of density matrices, where the “observables”, as well as “symmetry generators” are represented by a specific type of real valued (densely defined) functions, namely the usual quantum expectations of corresponding selfadjoint operators. It is shown in this paper that inclusion of additional (“nonlinear”) symmetry generators (i.e. “Hamiltonians”) into this reformulation of (linear) QM leads to a considerable extension of the theory: two kinds of quantum “mixed states” should be distinguished, and operator ‐ valued functions of density matrices should be used in the r ˆ ole of “nonlinear observables”. A general framework for physical theories is obtained in this way: By different choices of the sets of “nonlinear observables” we obtain, as special cases, e.g. classical mechanics on homogeneous spaces of kinematical symmetry groups, standard (linear) QM, or nonlinear extensions of QM; also various “quasiclassical approximations” to QM are all subtheories of the presented extension of QM - a version of the extended quantum mechanics (EQM). A general interpretation scheme of EQM extending the usual statistical interpretation of QM is also proposed. Eventually, EQM is shown to be (included into) a C -algebraic (hence linear) quantum theory. Mathematical formulation of these theories is presented. The presentation includes an analysis of problems connected with differentiation on infinite ‐ dimensional manifolds, as well as a solution of some problems connected with the work with only densely defined unbounded real‐valued functions on the (infinite dimensional) “phase space” which correspond to unbounded operators (generators) and to their nonlinear generalizations. Also “nonlinear deformations” of unitary representations of kinematical symmetry Lie groups are introduced. Possible applications are briefly discussed, and some specific examples are presented. The text contains also brief reviews of Hamiltonian classical mechanics, as well as of QM. Mathematical appendices make the paper nearly selfcontained.

연구 동기 및 목표

• 비상대성 양자역학의 선형 및 비선형 확장을 모두 수용하는 통합적인 수학적 및 개념적 프레임워크를 개발하는 것.
• 밀도 행렬의 무한차원 다양체 위에서 실수 함수로 표현된 양자 기댓값을 사용하여 양자역학을 재구성함으로써 기초 문제를 다루는 것.
• 비선형 해밀토니안과 연산자 값 관측량을 도입함으로써 표준 양자 형식을 확장하여 두 종류의 혼합 상태를 구분하는 것.
• 표준 양자역학의 통계적 해석을 일반화하는 EQM의 일반적인 해석 체계를 제공하는 것.
• 확장 양자역학을 더 넓은 C*-대수 양자이론의 맥락에 통합하여 기존 양자기초 이론과의 일관성을 확보하는 것.

제안 방법

• 밀도 행렬의 위상공간 위에서 표준 양자역학을 파울슨계로 재구성하며, 관측량은 자기수반 연산자의 양자 기댓값으로 주어지는 실수 함수로 정의한다.
• 비선형 대칭 생성자(비선형 해밀토니안)를 도입하여 표준 양자역학의 선형 역학을 확장함으로써 새로운 종류의 진화 방정식을 이끌어내는 것.
• 밀도 행렬의 연산자 값 함수를 사용하여 비선형 관측량을 표현함으로써 선형 함수형 이상의 일반적인 물리량을 기술할 수 있도록 하는 것.
• 무한차원 다양체 위에서의 미분과 관련된 수학적 과제를 다루며, 비유계 연산자에 대응하는 조밀하게 정의된 비유계 실수 함수를 위상공간에서 다루는 것.
• 운동학적 대칭 리군의 유니터리 표현에 대한 비선형 변형을 도입하여 비선형 이론에서 대칭의 역할을 일반화하는 것.
• 비선형 관측량의 다양한 선택에 따라 고전역학, 표준 양자역학, 준고전적 근사, 비선형 양자역학 등이 특수한 경우로 나타나는 일반 물리이론 프레임워크를 구축하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 양자역학을 밀도 행렬의 다양체 위에서 파울슨계로 재구성할 수 있는가? 이때 관측량은 양자 기댓값으로 주어진다.
• RQ2 양자 형식에 비선형 해밀토니안을 도입할 경우 발생하는 수학적 및 물리적 결과는 무엇인가?
• RQ3 확장된 프레임워크에서 두 종류의 혼합 상태는 어떻게 유도되며, 그 물리적 의미는 무엇인가?
• RQ4 준고전적 근사는 확장 양자역학(EQM) 프레임워크 내에서 어떤 방식으로 하위이론으로 나타나는가?
• RQ5 확장된 이론은 어떻게 C*-대수 양자이론의 형태로 일관되게 통합될 수 있는가?

주요 결과

• 확장 양자역학(EQM) 프레임워크는 비선형 해밀토니안과 연산자 값 관측량을 도입함으로써 표준 양자역학을 성공적으로 일반화하여 더 넓은 물리이론의 범주를 포함한다.
• EQM에서는 비선형 구조에 기인하여 표준 선형 양자역학에는 존재하지 않는 두 종류의 혼합 상태가 식별된다.
• 이 이론은 비선형 관측량의 다양한 선택에 따라 고전역학, 표준 양자역학, 다양한 준고전적 근사가 특수한 경우로 나타나는 통합적 프레임워크를 제공한다.
• 무한차원 다양체 위에서의 미분과 밀도 행렬 위상공간의 조밀하게 정의된 비유계 실수 함수 다루기와 관련된 수학적 과제가 이론적으로 해결된다.
• 운동학적 대칭군의 유니터리 표현에 대한 비선형 변형이 도입되어 비선형 이론에서 대칭의 역할이 일반화된다.
• 확장 양자역학이 C*-대수 양자이론의 형태로 포함될 수 있음을 보여주며, 이는 양자역학의 기초 원칙과의 일관성을 확보한다.