[논문 리뷰] Extended TQFT, Gauge Theory, AND 2-Linearization

Jeffrey C. Morton|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 50인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 2차 선형화 함자를 코homological twist를 포함하도록 확장하여, 3-코호몰로지 족 ω를 가진 전체 Dijkgraaf-Witten 위상적 게이지 이론의 범주론적 구성법을 가능하게 한다. 군oids의 스펜을 코호몰로지 데이터를 포함하는 것으로 일반화함으로써, 확장된 TQFT를 코호몰로지 twist가 있는 군oids의 대칭 모나이드 2-카테고리에서 2벡터 공간으로 가는 함수로 실현함으로써, 게이지 군 G와 분류 코호몰로지 족 ω를 가진 DW 모델을 범주론적으로 유도한다.

ABSTRACT

In this paper, we describe a relation between a categorical construction, called 2-linearization, and extended topological quantum field (ETQFT). We then describe an extension of the 2-linearization process which incorporates cohomological twisting. The 2-linearization process assigns 2-vector spaces to (finite) groupoids, functors between them to spans of groupoids, and natural transformations to spans between these. By applying this to groupoids which represent the (discrete) moduli spaces for topological gauge with finite group G, the ETQFT obtained is the untwisted Dijkgraaf-Witten (DW) model associated to G. This illustrates the factorization of TQFT into field theory valued in groupoids, and quantization functors, which has been described by Freed, Hopkins, Lurie and Teleman. We then describe how to extend this to the full DW model, by using a generalization of the symmetric monoidal bicategory of groupoids and spans which incorporates cocycles. We give a generalization of the 2-linearization functor which acts on groupoids and spans which have associated cohomological data. We show how the 3-cocycle {\omega} on the classifying space BG which appears in the action for the DW model induces a classical field valued in this bicategory.

연구 동기 및 목표

• 2-선형화 과정을 코호몰로지 twist를 포함하도록 확장하여 전체 Dijkgraaf-Witten 모델의 범주론적 기술을 가능하게 한다.
• 군oids와 스펜의 대칭 모나이드 2-카테고리를 군oids의 2-코호몰로지 족을 포함하도록 일반화한다.
• BG 위의 3-코호몰로지 족 ω가 확장된 TQFT의 고전적 장 이론 성분에서 자연스럽게 나타나는 방식을 보여준다.
• ETQFT를 twist가 있는 군oids에 값을 갖는 장 이론과 2-선형화를 통한 양자화 함수로 분해하는 것을 확립한다.
• 위상적 게이지 이론의 장 이론 및 양자화 성분을 통합하는 범주론적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 군oids의 2-코호몰로지 족을 통해 군oids와 스펜의 대칭 모나이드 2-카테고리를 코호몰로지 데이터를 포함하도록 일반화한다.
• twist가 있는 군oids에 2벡터 공간을 할당하고, twist가 있는 스펜에 함수를, twist가 있는 스펜의 사상에 자연 변환을 할당하는 twist된 2-선형화 함수를 정의한다.
• BG 위의 3-코호몰로지 족 ω로 매개화된 twist된 군oids와 스펜의 확장된 2-카테고리에 값이 있는 고전적 장 이론을 구성한다.
• 유한군 G의 분류 공간 BG를 사용하여, 3-코호몰로지 족 ω를 H^3(BG, U(1))에 속하는 특성 클래스로 해석한다.
• 평탄한 G-_bundle의 모듈리 군oids(이산적)에 twist된 2-선형화 함수를 적용함으로써, 전체 DW TQFT를 2벡터 공간으로 가는 3-함수로 유도한다.
• 결과로 얻어진 TQFT가 게이지 군 G와 족 ω에 의해 가중치가 부여된 Dijkgraaf-Witten 불변량을 복원함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 양자 이론에서 코호몰로지 twist를 포함하는 2-선형화 과정을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 게이지 이론을 위한 대칭 모나이드 2-카테고리를 지지하는 twist된 군oids와 스펜의 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 BG 위의 3-코호몰로지 족 ω는 확장된 TQFT의 고전적 장 이론 성분에서 어떻게 나타나는가?
• RQ4 ETQFT를 장 이론과 양자화 함수로 분해하는 방식을 통해 전체 Dijkgraaf-Wilden 모델을 재구성할 수 있는가?
• RQ5 분류 공간 BG는 코호몰로지 데이터를 통해 게이지 이론의 작용을 어떻게 코딩하는가?

주요 결과

• 2-선형화 함수는 군oids의 2-코호몰로지 족을 통해 코호몰로지 twist를 포함하도록 성공적으로 확장되어, 일반화된 대칭 모나이드 2-카테고리를 형성한다.
• twist된 2-선형화는 twist된 군oids에 2벡터 공간을, twist된 스펜에 함수를, twist된 스펜의 사상에 자연 변환을 할당한다.
• ETQFT의 고전적 장 이론 성분은 BG 위의 3-코호몰로지 족 ω가 자연스럽게 구조에 포함된 twist된 군oids와 스펜의 2-카테고리의 값으로 실현된다.
• twist된 2-선형화로부터 유도된 TQFT는 게이지 군 G와 작용이 ω에 의해 가중치가 부여된 전체 Dijkgraaf-Witten 모델을 재현한다.
• 이 구성은 Freed, Hopkins, Lurie, Teleman가 제안한 바와 같이, ETQFT의 장 이론과 양자화의 분해를 범주론적으로 실현한다.
• BG 위의 3-코호몰로지 족 ω는 확장된 2-카테고리 내에서 고전적 장을 유도하며, 직접적으로 작용 함수가 고차 범주론적 자료와 연결됨을 보여준다.