[논문 리뷰] Extending functions from a neighborhood of the sphere to the ball

Valentin Seigneur|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 17.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ℓ$-계수를 가진 모어스 체인 복합체와 그룹 $G(\tilde{f})$를 이용하여, 구 $ℓ^n$ 근처에 정의된 매끄러운 함수의 점근적 형태를 공백점이 없는 복합체로 확장할 수 있는 대수적 필요 조건을 제시한다. $n \geq 6$ 인 경우, 특정한 인덱스 및 레이블링 조건 하에서, 확장이 가능할 조건은 $\det(\partial_{++,k+1}) \equiv \pm 1 \mod d_1(\partial_{+-,k+1})$ 이며, 여기서 $d_1$ 는 $\partial_{+-,k+1}$ 블록의 원소들의 최대공약수이다.

ABSTRACT

In this article, we are interested in the problem of extending the germ of a smooth function $ ilde{f}$ defined along the standard sphere of dimension $n$ to a function defined on the ball which has no critical points. The article gives a necessary condition using the Morse chain complex associated to the function $f$, restriction of $ ilde{f}$ to the sphere $\mathbb{S}^n$, which is assumed to be a Morse function.

연구 동기 및 목표

• 구 $ℓ^n$ 에서 정의된 매끄러운 함수의 점근적 형태를 닫힌 볼 $ℓ^{n+1}$ 상에서 공백점이 없는 함수로 확장할 수 있는 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 바라니코프 및 다른 이들의 이전 조합론적 결과를 일반화하기 위해, $ℓ$-계수를 가진 모어스 복합체를 기반으로 하는 대수적 조건을 도입하는 것.
• 비판점의 인덱스와 정규 도함수의 부호(레이블 $\pm$)에 대한 제약 조건 하에서 이러한 확장이 존재하는 조건을 특성화하는 것.
• 특히 $n \geq 6$ 인 경우, $\partial_{++,k+1}$ 블록의 행렬식이 $\partial_{+-,k+1}$ 블록의 원소들의 최대공약수를 모듈로로 하여 $\pm 1$ 과 합동일 때, 이를 만족하는 계산 가능한 기준을 수립하는 것.
• 비판점의 인덱스와 비판점의 값의 순서에 대한 추가적인 위상수학적 제약 조건 하에서, 정리 3.1의 필요 조건이 충분 조건으로서 성립함을 보이는 것.

제안 방법

• 비판점이 없는 $ℓ^n$ 에서의 모어스 점근적 형태 $\tilde{f}$ 를 정의하고, $f = \tilde{f}|_{\mathbb{S}^n}$ 의 비판점을 정규 도함수의 부호에 따라 분류: $\mathcal{C}^+$ (양수), $\mathcal{C}^-$ (음수).
• 모어스 체인 복합체를 $ℓ$-계수로 구성하고, 경계 연산자 $\partial_k$ 를 $\ell_1, \ell_2 \in \{+, -\}$ 에 따라 블록 $\partial_{\ell_1\ell_2,k}$ 로 분해한다.
• 레벨과 인덱스에 따라 분해를 유지하는, 그룹 $G(\tilde{f})$ 를 도입하며, 이는 비판점의 하위 슬라이드를 통해 작용한다.
• 공백점이 없는 확장이 존재할 수 있는 조건은, $M \in G(\tilde{f})$ 가 존재하여 $M\partial M^{-1}$ 의 $(-, +)$ 블록이 0이 되고, $++$ 블록이 차수 $n$ 에서는 $ℓ$, 나머지 차수에서는 자명한 호모로지 군을 가지는 체인 복합체를 정의해야 한다는 것을 증명한다.
• $n \geq 6$ 인 경우, 최대값이 하나, 최소값이 하나이며, 인덱스 $k$ 와 $k+1$ 인 비판점들이 존재하고, $2 \leq k \leq n-2$ 라는 조건 하에서, 확장이 존재하는 것은 $\det(\partial_{++,k+1}) \equiv \pm 1 \mod d_1(\partial_{+-,k+1})$ 와 동치이며, 여기서 $d_1$ 은 $\partial_{+-,k+1}$ 블록의 원소들의 최대공약수이다.
• 세르 이론과 일반적인 함수의 경로를 이용하여, 비판점의 값이 순서가 정렬되고 표준적인 핸들 슬라이드 구조를 가지는 호모토피적 모어스 함수 $f_1$ 을 구성함으로써, 행렬식 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모어스 복합체에 대해 $ℓ$-계수를 사용할 때, 구 $ℓ^n$ 에서의 공백점이 없는 점근적 형태가 볼로 확장될 수 있는 대수적 조건은 무엇인가?
• RQ2 Theorem 3.1 의 필요 조건이 $n \geq 6$ 인 경우 공백점이 없는 확장에 대해 충분한가?
• RQ3 확장 문제는 경계 연산자 블록에 대한 계산 가능한 산술 조건으로 환원될 수 있는가?
• RQ4 정규 도함수의 부호에 기반한 레이블 $\pm$ 과 비판점의 값의 순서는 공백점이 없는 확장의 존재성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비판점의 인덱스와 레이블링에 따라 결정되는, 그룹 $G(\tilde{f})$ 의 그룹적 동치사상은 모어스 복합체를 공백점이 없는 확장을 허용하는 형태로 변형하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 정리 3.1 의 필요 조건 — 즉, $M \in G(\tilde{f})$ 가 존재하여 $M\partial M^{-1}$ 의 $(-, +)$ 블록이 0이 되고, $++$ 블록이 차수 $n$ 에서 $ℓ$, 나머지 차수에서는 자명한 호모로지 군을 가지는 체인 복합체를 정의해야 한다 — 는 일반적으로 충분 조건이 아니다.
• $n \geq 6$ 인 경우, $f$ 가 최대값 하나, 최소값 하나, 그리고 인덱스 $k$ 와 $k+1$ 인 비판점들만 가지고 있으며, $2 \leq k \leq n-2$ 라면, 점근적 형태 $\tilde{f}$ 는 공백점이 없는 확장이 가능할 조건은 $\det(\partial_{++,k+1}) \equiv \pm 1 \mod d_1(\partial_{+-,k+1})$ 과 동치이며, 여기서 $d_1$ 은 $\partial_{+-,k+1}$ 블록의 원소들의 최대공약수이다.
• $\det(\partial_{++,k+1}) \equiv \pm 1 \mod d_1(\partial_{+-,k+1})$ 조건은 행렬 $\begin{pmatrix}\partial_{++,k+1} & \partial_{+-,k+1}\end{pmatrix}$ 의 상사상이 전사임과 동치이며, 이는 $\partial_{++,k+1} + \partial_{+-,k+1}N_{k+1}$ 가 가역행렬이 되는 행렬 $N_{k+1}$ 이 존재함을 보장한다.
• 증명 과정에서 비판점의 값을 순서화하고 경계 연산자를 단순화하는 핸들 슬라이드를 통한 함수 $f_1$ 을 구성함으로써, 공백점이 없는 확장을 위한 $ℓ$-호모로지 조건을 실현한다.
• 그룹 $G(\tilde{f})$ 는 비판점의 인덱스와 레이블링에 따라 결정되는, 그룹적 동치사상을 통해 모어스 복합체를 변형할 수 있으며, 그 구조는 비판점의 값의 순서와 레이블링에 의해 결정된다.
• 모든 인덱스 $k$ 와 $k+1$ 인 $+$-레이블 비판점들이 $-$-레이블 비판점들보다 더 큰 비판점 값을 가질 경우, 조건은 계산 가능하고 완전히 대수적 형태가 되어, 공백점이 없는 확장 가능성에 대해 알고리즘적 검증이 가능해진다.