[논문 리뷰] Extending Homotopy Type Theory with Strict Equality

Thorsten Altenkirch, Paolo Capriotti외 1명|Nottingham ePrints (University of Nottingham)|2016. 04. 13.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 1인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 외부 계층에 엄밀한 등식 유형을 도입하면서도 내부 계층에서는 호모토피 유형 이론(HoTT)의 약한 등식을 유지하는 2단계 유형 이론을 제안한다. 등식 반영을 피하고 외부 이론에서 유일한 항등증명을 활용함으로써, 시스템은 결정 가능성을 유지하면서도 Reedy fibrant 반-단순형 유형과 무한 일致성 탑승과 같은 복잡한 구성 요소를 내부적으로 표현할 수 있다. 이는 기존 HoTT에서 달성할 수 없는 것이다.

ABSTRACT

In homotopy type theory (HoTT), all constructions are necessarily stable under homotopy equivalence. This has shortcomings: for example, it is believed that it is impossible to define a type of semi-simplicial types. More generally, it is difficult and often impossible to handle towers of coherences. To address this, we propose a 2-level theory which features both strict and weak equality. This can essentially be represented as two type theories: an "outer" one, containing a strict equality type former, and an "inner" one, which is some version of HoTT. Our type theory is inspired by Voevosky's suggestion of a homotopy type system (HTS) which currently refers to a range of ideas. A core insight of our proposal is that we no not need any form of equality reflection in order to achieve what HTS was suggested for. Instead, having unique identity proofs in the outer type theory is sufficient, and it also has the meta-theoretical advantage of not breaking decidability of type checking. The inner theory can be an easily justifiable extensions of HoTT, allowing the construction of "infinite structures" which are considered impossible in plain HoTT. Alternatively, we can set the inner theory to be exactly the current standard formulation of HoTT, in which case our system can be thought of as a type-theoretic framework for working with "schematic" definitions in HoTT. As demonstrations, we define semi-simplicial types and formalise constructions of Reedy fibrant diagrams.

연구 동기 및 목표

• HoTT에서 무한 일치성 데이터 탑승이 필요한 구성 요소(예: Reedy fibrant 다이어그램 및 반-단순형 유형)를 내부적으로 표현할 수 없는 한계를 해결하기 위해.
• 등식 반영 없이도 결정 가능성을 유지하면서도 '도식적' 정의와 무한 구조를 지원하는 유형 이론 프레임워크를 제공하기 위해.
• HoTT에 대한 메타이론적 결과(예: fibrant 치환과 유니버스가 (∞,1)-범주로 간주되는 것)를 내부적으로 표현할 수 있도록 하기 위해.
• 유형 이론 내에서 (∞,1)-범주와 고차형 인덕티브 유형(HITs)의 합성 이론을 구축하기 위한 기초를 마련하기 위해.
• 이전에는 메타이론적으로만 가능했던 구성 요소(예: fibrant 극한과 Reedy fibrant 다이어그램)가 이제 내부적으로 형식화될 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 외부 계층에 엄밀한 등식이 있고 내부 계층이 표준 HoTT에 기반한 2단계 유형 이론을 도입하여 엄밀한 등식과 약한 등식이 공존하도록 한다.
• 외부 이론에서 유일한 항등증명(UIP)을 사용하여 타입 검증의 결정 가능성을 확보하고 등식 반영이 필요 없도록 한다.
• 자연수에 대한 상호 인도적 정의를 사용하여 Reedy fibrant 다이어그램을 정의하고, 정리 4.10을 활용해 매칭 객체의 유형 이론적 표현을 사용한다.
• Δ₊^op 위의 Reedy fibrant 다이어그램으로서 반-단순형 유형을 구성하며, 매칭 객체 위의 피브레이션을 포함하는 재귀적 유형 정의를 사용한다.
• 상수 함수 A의 Reedy fibrant 치환을 정의하여 fibrant 치환의 구성 요소를 내부적으로 표현하고, ∞-군의 구조를 도출한다.
• Segal 사상이 동치인 Reedy fibrant 반-단순형 유형으로서 (∞,1)-범주를 합성적으로 정의하는 프레임워크를 제안하며, 탈퇴 요소를 포함하는 확장 가능성도 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 일치성 탑승(예: Reedy fibrant 다이어그램에 요구되는 것들)이 결정 가능성을 해치지 않고도 유형 이론 프레임워크 내에서 내부화될 수 있는가?
• RQ2 등식 반영 없이도 HoTT 내에서 반-단순형 유형을 내부적으로 정의할 수 있는가?
• RQ3 유형의 유니버스가 유형 이론 프레임워크 내에서 자연스럽게 (∞,1)-범주로 이해될 수 있는가?
• RQ4 현재 문법적 접근에서 처리할 수 없는 많은 일치성 요소를 다룰 수 있도록 고차형 인덕티브 유형(HITs)을 공식적으로 기술할 수 있는가?
• RQ5 fibrant 치환의 구성 요소를 내부화하여 임의의 유형에 대해 ∞-군의 구조를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 2단계 유형 이론은 자연수에 대한 상호 인도적 정의와 매칭 객체 위의 피브레이션을 사용하여 Reedy fibrant 다이어그램, 특히 반-단순형 유형을 내부적으로 표현함으로써 성공적으로 내부화하였다.
• 외부 엄밀한 등식 계층에서의 유일한 항등증명을 통해 타입 검증의 결정 가능성을 확보하였고, 등식 반영이 필요 없도록 하였다.
• 상수 함수 A의 Reedy fibrant 치환으로서 반-단순형 유형 Eq_A를 구성함으로써 ∞-군의 구조를 도출하였으며, 이는 모든 유형이 내부적으로 ∞-군의 구조를 지닌다는 것을 보여주었다.
• 구성 요소가 체계적으로 기술된 경우, 유형 이론의 모델 위의 다이어그램이 유니버설성을 유지하는 등 메타이론적 결과를 내부적으로 표현할 수 있도록 하였다.
• Segal 유형을 Reedy fibrant 반-단순형 유형으로서 정의하고, 호모토피-일致성 조합을 갖도록 함으로써 합성 (∞,1)-범주 이론의 기초를 제공하였다.
• 무한 일치성 탑승 문제를 해결하기 위해 유한하고 인도적인 구성 요소를 통해 고차 일치성을 암묵적으로 표현할 수 있도록 하였다.