[논문 리뷰] Extending Hudson's theorem to mixed quantum states

Aikaterini Mandilara, Evgueni Karpov외 1명|Nazarbayev University Repository (Nazarbayev University)|2008. 08. 18.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 원래 순수 상태에서만 유효한 허드슨 정리(양자 상태의 Wigner 함수가 양수일 수 있는 것은 가우시안 상태뿐이라는 정리)를 혼합 양자 상태로 확장하여, 비가우시안성에 대한 분석적 상한 및 하한을 유도한다. 라그랑주 승수법과 코시-슈바르츠 부등식을 사용하여, 순수도와 해당 가우시안 상태의 순수도에 따라 Wigner 함수가 양수인 혼합 상태의 비가우시안성을 제약한다. 이로써 비가우시안성이 순수도가 감소함에 따라 증가함을 밝혀내지만, 상한은 물리적으로 비현실적인 극한 해를 유도하여 비물리적임을 밝힌다.

ABSTRACT

According to Hudson's theorem, any pure quantum state with a positive Wigner function is necessarily a Gaussian state. Here, we make a step towards the extension of this theorem to mixed quantum states by finding upper and lower bounds on the degree of non-Gaussianity of states with positive Wigner functions. The bounds are expressed in the form of parametric functions relating the degree of non-Gaussianity of a state, its purity, and the purity of the Gaussian state characterized by the same covariance matrix. Although our bounds are not tight, they permit us to visualize the set of states with positive Wigner functions.

연구 동기 및 목표

• 순수 상태에 대해 유효한 허드슨 정리를 Wigner 함수가 양수인 혼합 양자 상태로 확장하는 것.
• 동일한 계량행렬을 가진 기준 가우시안 상태에 대해, Wigner 함수가 양수인 혼합 상태의 집합을 그 비가우시안성의 정도로 특성화하는 것.
• 혼합 상태의 순수도와 그에 해당하는 가우시안 상태의 순수도에만 의존하는 분석적으로 계산 가능한 비가우시안성의 경계를 도출하는 것.
• 특히 극한 최적화를 통해 유도된 상한의 물리성과 타이트함을 탐색하는 것.
• 연속 변수 양자 정보 이론에서 비가우시안 상태 설계를 이해하기 위한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• Wigner 함수의 적분 표현을 사용하여 추적 중첩 Tr(ρρ′)를 표현: Tr(ρρ′) = 2π∫∫ Wρ(x,p)Wρ′(x,p) dx dp.
• 심플렉틱 변환을 적용하여 가우시안 상태를 열 상태로 단순화함으로써, 순수도, Wigner 함수의 양수성, 추적 중첩을 유지한다.
• 고정된 두 번째 모멘트(공분산 행렬)와 Wρ의 양수성 조건 하에 Tr(ρρG)를 극대화/최소화하기 위해 라그랑주 승수법을 적용한다.
• 극한 문제를 해결하여 비가우시안성 δ[ρ,ρG]에 대한 상한을 도출하고, 이를 매개변수화된 상한 δ^u.ult(μ[ρG])로 표현한다.
• Wigner 표현에 대해 코시-슈바르츠 부등식을 적용하여 δ[ρ,ρG]에 대한 하한을 도출하고, Tr(ρρG) ≤ √(μ[ρG]μ[ρ])를 통해 δ^l.ult를 산출한다.
• Fock 상태와의 중첩을 검토하여 상한의 물리성을 평가함으로써, 유한한 μ[ρG] > 0 에서도 극한 Wigner 함수 Wρ^ex 가 모든 Fock 상태와의 양수 중첩을 가지지 않음을 확인하고, 이로 인해 비물리적임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순수 상태에 대해 유효한 허드슨 정리—Wigner 함수가 양수일 수 있는 경우는 가우시안 상태뿐이라는 정리—는 혼합 양자 상태로 확장 가능한가?
• RQ2 주어진 순수도와 해당 가우시안 상태의 순수도를 바탕으로, Wigner 함수가 양수인 혼합 상태의 비가우시안성에 대한 경계는 무엇인가?
• RQ3 극한 최적화를 통해 유도된 비가우시안성 상한은 물리적으로 실현 가능한가?
• RQ4 상태의 순수도와 그에 해당하는 가우시안 기준 상태의 순수도는 최대 허용 비가우시안성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 혼합 상태에서 Wigner 함수의 양수성과 하이젠베르크 불확정성 원리 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 최종 상한 비가우시안성 δ^u.ult는 오직 가우시안 기준 상태의 순수도 μ[ρG]에만 의존하므로, 실험적으로 접근 가능하다.
• 상한 δ^u.ult 는 비물리적이다. 왜냐하면 유한한 μ[ρG] > 0 에서도 극한 Wigner 함수 Wρ^ex 가 모든 Fock 상태와의 중첩이 양수가 되지 않기 때문이다.
• 코시-슈바르츠 부등식을 적용하여 비가우시안성에 대한 하한 δ^l.ult 를 도출하였으며, 이는 Wigner 함수가 양수이든 음수이든 모든 상태에 대해 유효하다.
• μ[ρ], μ[ρG], δ[ρ,ρG]의 3차원 공간에서 가능한 비가우시안성의 영역은 δ^u.ult 와 δ^l.ult 사이로 제한된다.
• 순수도에 대한 하한 μ[ρ] = (8/9)μ[ρG] 를 도출하였으며, 이는 알려진 불확정성 원리와 일치한다.
• 결과적으로 허드슨 정리와 하이젠베르크 불확정성 원리 사이에 깊은 연관성이 있음을 확인하였으며, 경계 μ[ρ] = (8/9)μ[ρG] 는 점 渐진적으로 타이트하며, 양수 Wigner 함수에 의해 실현된다.