[논문 리뷰] Extending the Lambda Calculus to Express Randomized and Quantumized Algorithms

Philip Maymin|ArXiv.org|1996. 12. 31.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 8인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 무작위화 및 양자화 알고리즘을 각각 모델링하기 위해 람다-파이와 람다-큐 계산을 형식적 확장으로 도입한다. 관측을 명시적으로 다루고 계산을 '파워티아'(potentia)—중첩과 확률 분포—위에서 수행함으로써, 양자 알고리즘의 고수준 명세를 가능하게 하고, 람다-큐 계산에서 만족성 해결의 효율성을 입증한다.

ABSTRACT

This paper introduces a formal metalanguage called the lambda-q calculus for the specification of quantum programming languages. This metalanguage is an extension of the lambda calculus, which provides a formal setting for the specification of classical programming languages. As an intermediary step, we introduce a formal metalanguage called the lambda-p calculus for the specification of programming languages that allow true random number generation. We demonstrate how selected randomized algorithms can be programmed directly in the lambda-p calculus. We also demonstrate how satisfiability can be solved in the lambda-q calculus.

연구 동기 및 목표

• 클래식 계산을 위한 처치의 람다 계산과 유사한 형식적 계산을 통해 양자 계산을 형식화하기 위해.
• 양자 하드웨어의 발전에도 불구하고 양자 프로그래밍을 위한 공식적인 소프트웨어 기반의 부재를 해결하기 위해.
• 양자역학의 확률적이고 중첩적인 성격을 반영하기 위해 관측과 측정을 계산 모델에서 명시적으로 다루기 위해.
• 저수준의 양자 Turning 기계 형식화를 피하고 양자 알고리즘에 대한 고수준 명세와 추론을 가능하게 하기 위해.
• 새로운 메타언어를 통해 양자 계산과 함수형 프로그래밍 간의 관계를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 확률 분포를 반환하는 무작위 함수를 모델링하기 위해 람다 계산을 확장하여 람다-파이 계산을 도입한다.
• 람다-파이를 확장하여 부호가 있는 항을 允허하는 람다-큐 계산을 도입하며, 이는 중첩에서 간섭을 통해 상쇄될 수 있다.
• 모든 항이 관측될 때 한 개의 항만 선택되는 분포 또는 중첩을 일급 값으로 사용한다.
• 세부 치환과 감소 체계를 사용하여 파워티아 세계에서의 계산을 시뮬레이션하며, 베타 감소와 감마 감소를 적용한다.
• 형식적인 잘 구성된 공식과 등가성 정의를 통해 계산체에서 정확성과 동치성을 추론한다.
• 반드시 거짓 리터럴을 간섭을 통해 제거하는 항을 사용하여 람다-큐 계산에서 만족성 문제가 효율적으로 해결될 수 있음을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클래식 알고리즘을 람다 계산이 어떻게 표현하는지와 유사하게, 양자 알고리즘을 표현할 수 있는 형식적 계산을 개발할 수 있는가?
• RQ2 기능적 프로그래밍 프레임워크 내에서 관측과 측정을 어떻게 명시적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ3 반대 부호의 항이 상쇄되는 양자 간섭을 이용하여, 클래식 또는 무작위 대응보다 더 효율적인 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ4 람다-큐 계산이 양자 튜링 기계나 기타 양자 계산 모델을 어느 정도 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ5 람다-큐 계산이 실용적인 양자 알고리즘 프로그래밍 언어로 기능할 수 있는가, 아니면 이론적 탐구에 국한되는가?

주요 결과

• 람다-큐 계산은 양자 간섭을 활용하여 거짓 리터럴을 상쇄시킴으로써 부울 만족성 문제를 효율적으로 해결할 수 있다.
• 람다-파이 계산은 확률적 튜링 기계를 시뮬레이션할 수 있으며, 이는 무작위 알고리즘을 위한 공식적 기반을 제공한다.
• 람다-큐 계산은 양자 튜링 기계를 시뮬레이션할 수 있으며, 이는 그것이 양자 계산을 위한 적절한 형식화임을 시사한다.
• 람다-큐 계산에서 관측은 본질적으로 확률적이며 비결정적이며, 간섭이 발생한 후 중첩에서 결과가 추출된다.
• 논문은 입력 공식이 만족 가능할 경우에만 결과를 관측했을 때 참이 되는 항을 람다-큐 계산 내에서 구성할 수 있음을 보여준다. 이 경우 오차 확률은 유계이다.
• 만족 불가능한 공식을 관측 가능하게 만들기 위해 항등항을 삽입하는 방법은 악성 경우 최대 50%의 오차 확률을 유도하지만, 반복 시도를 통해 불확실성을 임의로 유의미하게 낮출 수 있다.