[논문 리뷰] Extension criteria for homogeneous Sobolev space of functions of one variable

Pavel Shvartsman|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 30.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 실수선의 임의의 닫힌 부분집합 위에 정의된 함수를 $p > 1$ 및 $m \in \mathbb{N}$에 대해 동차 소볼레프 공간 $L_p^m(\mathbb{R})$으로 확장하기 위한 내재 기준을 제공한다. 고전적 윌리엄슨 확장 연산자가 이러한 공간에서 항상 최적임을 증명하며, 연산자 노름이 $m$에만 의존하는 상수로 유계임을 보이고, $m$차 분할 차수를 이용한 구조적 확장 기준을 유도한다.

ABSTRACT

For each $p>1$ and each positive integer $m$ we give intrinsic characterizations of the restriction of the homogeneous Sobolev space $L^m_p(R)$ to an arbitrary closed subset $E$ of the real line. We show that the classical one dimensional Whitney extension operator is "universal" for the scale of $L^m_p(R)$ spaces in the following sense: for every $p\in(1,\infty]$ it provides almost optimal $L^m_p$-extensions of functions defined on $E$. The operator norm of this extension operator is bounded by a constant depending only on $m$. This enables us to prove several constructive $L^m_p$-extension criteria expressed in terms of $m^{th}$ order divided differences of functions.

연구 동기 및 목표

• 임의의 닫힌 부분집합 $E \subset \mathbb{R}$ 및 $p > 1$, $m \in \mathbb{N}$에 대해 소볼레프 공간 $L_p^m(\mathbb{R})|_E$의 경계 공간을 특성화하는 것.
• 집합 $E$ 위에 정의된 함수 $f$의 확장 중에서 $L_p^m(\mathbb{R})$-준노름이 최소가 되는 것을 결정하는 것.
• 모든 $p \in (1, \infty]$에 대해 윌리엄슨 확장 연산자가 $L_p^m(\mathbb{R})$ 공간에서 항상 최적임을 입증하는 것.
• $m$차 분할 차수를 이용한 확장 기준을 구조적으로 제공하는 것.
• 윌리엄슨 확장 연산자의 연산자 노름이 $m$에만 의존하는 방식으로 일관되게 유계임을 보이는 것.

제안 방법

• 고전적 윌리엄슨 확장 연산자를 $L_p^m(\mathbb{R})$ 공간에 대한 일반적인 확장 수단으로 사용한다.
• 특히 $m$차 분할 차수 $\Delta^m f[S]$를 이용해 경계 노름을 특성화하기 위해 분할 차수 이론을 적용한다.
• 경계 노름 $\|f\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_E}$와 $|\Delta^m f[x_i, \dots, x_{i+m}]|^p$의 이산 합 사이의 등가성을, 간격 $x_{i+m} - x_i$로 가중한 식으로 수립한다.
• 기존의 $L_\infty^m(\mathbb{R}) \cong C^{m-1,1}(\mathbb{R})$ 결과를 이원 및 보간 기법을 통해 $L_p^m(\mathbb{R})$로 일반화한다.
• 확장 연산자의 노름을 정량화하기 위해 날카운 상수 $\gamma^\sharp(L_p^m(\mathbb{R}))$ 개념을 활용한다.
• 유한 집합 $E'$를 이용해 $\|f|_{E'}\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_{E'}}$를 통해 경계 노름을 근사하고, 경계 노름이 모든 유한 부분집합에 대한 상한임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 닫힌 집합 $E \subset \mathbb{R}$와 함수 $f: E \to \mathbb{R}$에 대해, $F|_E = f$를 만족하는 $F \in L_p^m(\mathbb{R})$가 존재하는가?
• RQ2 모든 그러한 확장 $F$에 대해 $\|F\|_{L_p^m(\mathbb{R})}$의 하한은 무엇인가?
• RQ3 윌리엄슨 확장 연산자가 모든 $p \in (1, \infty]$에 대해 준노름 측면에서 최적임을 입증할 수 있는가?
• RQ4 경계 노름 $\|f\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_E}$는 어떻게 $m$차 분할 차수를 통해 특성화할 수 있는가?
• RQ5 모든 $p \in (1, \infty]$에 대해 윌리엄슨 확장 연산자의 연산자 노름에 대한 일관된 유계가 존재하는가?

주요 결과

• $p \in (1, \infty)$일 때, 실수선의 닫힌 부분집합 $E \subset \mathbb{R}$ 위의 함수 $f$가 $L_p^m(\mathbb{R})$로 확장될 수 있는 것은 $\widetilde{\mathcal{L}}_{m,p}(f:E) = \left(\sum_{i} (x_{i+m} - x_i) |\Delta^m f[x_i, \dots, x_{i+m}]|^p \right)^{1/p}$ 가 유한할 때이고, 그와 필요충분하다.
• 경계 노름 $\|f\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_E}$는 $m$에만 의존하는 상수를 통해 $\widetilde{\mathcal{L}}_{m,p}(f:E)$와 등가이다.
• 윌리엄슨 확장 연산자는 모든 $p \in (1, \infty]$에 대해 거의 최적의 확장을 제공하며, 연산자 노름이 $m$에만 의존하는 상수로 유계이다.
• $p = \infty$일 때, 경계 노름은 $\sup_{S \subset E, \#S = m+1} |\Delta^m f[S]|$과 등가이며, 윌리엄슨 연산자는 이 노름을 보편 상수 범위 내에서 달성한다.
• 날카운 상수 $\gamma^\sharp(L_p^m(\mathbb{R}))$는 $m > 2$일 때 $K(m) \leq \gamma^\sharp(L_p^m(\mathbb{R})) \leq \Theta_m$를 만족하며, $K(2) = 2$이고 $m = 1,2$일 때 $\theta_m = K(m)$이다.
• 경계 노름은 $\|f\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_E} = \sup_{E' \subset E, \#E' < \infty} \|f|_{E'}\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_{E'}}$를 만족하여, 노름이 유한 부분집합에 의해 결정됨을 보여준다.