[논문 리뷰] Extension of Mittag-Leffler function

Gauhar Rahman, Kottakkaran Sooppy Nisar외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 15.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초기 Mittag-Leffler 함수의 추가적인 확장을 제안하며, 통합된 초함수 $_1F_1$를 포함하는 일반화된 베타 함수를 사용하여 적분 표현식, Wright 초함수로 표현된 멜린 변환, 분수 도함수 성질을 수립한다. 주요 기여는 고전적 Mittag-Leffler 함수의 확장된 분수 도함수가 새로운 확장된 함수를 생성함을 보여주는 것이다. 이는 이전 결과들을 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we present an extension of Mittag-Leffler function by using the extension of beta functions (Özergin et al. in J. Comput. Appl. Math. 235 (2011), 4601-4610) and obtain some integral representation of this newly defined function. Also, we present the Mellin transform of this function in terms of Wright hypergeometric function. Furthermore, we show that the extended fractional derivative of the usual Mittag-Leffler function gives the extension of Mittag-Leffler function.

연구 동기 및 목표

• 확장된 베타 함수에 초함수 $_1F_1$ 항을 포함시켜 Mittag-Leffler 함수를 확장하는 것.
• 새로운 확장된 함수의 적분 및 멜린 변환 표현식을 도출하는 것.
• 확장된 분수 도함수와 확장된 Mittag-Leffler 함수 사이의 관계를 설정하는 것.
• 추가 매개변수 $\lambda$와 $\rho$를 도입하여 이전의 Mittag-Leffler 함수 확장을 일반화하는 것.

제안 방법

• 초함수 $_1F_1$를 포함하는 확장된 베타 함수 $B_p^{\lambda,\rho}(x,y)$를 사용하여 새로운 확장된 Mittag-Leffler 함수 $E_{\alpha,\beta}^{\gamma,c;\lambda,\rho}(z;p)$를 정의하는 것.
• 시리즈 정의에 확장된 베타 함수를 대입하고 합과 적분의 순서를 바꾸어 적분 표현식을 도출하는 것.
• 확장된 함수의 멜린 변환을 계산하고 Wright 초함수로 표현하는 것.
• $_1F_1$를 포함하는 확장된 리만-리우빌 분수 도함수 연산자를 도입하여 고전적 분수 도함수를 일반화하는 것.
• n번째 도함수가 매개변수 이동을 갖는 다른 확장된 Mittag-Leffler 함수를 생성함을 보여주는 미분 공식을 수립하는 것.
• 확장된 분수 도함수가 $z^{\delta-1}E_{\alpha,\beta}^c(z)$에 작용할 때 매개변수 $\delta$, $\mu$, $\lambda$, $\rho$를 갖는 새로운 확장된 Mittag-Leffler 함수를 생성함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장된 베타 함수에 초함수 $_1F_1$ 항을 포함시켜 Mittag-Leffler 함수를 어떻게 더 일반화할 수 있는가?
• RQ2 새로 정의된 확장된 Mittag-Leffler 함수에 대해 어떤 적분 및 변환 표현식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 확장된 분수 도함수 연산자는 새로운 Mittag-Leffler 함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 반복 미분 하에서 확장된 Mittag-Leffler 함수는 어떤 미분 성질을 만족하는가?
• RQ5 어떤 조건에서 새로운 확장이 고전적 또는 이전에 확장된 Mittag-Leffler 함수 형태로 축소되는가?

주요 결과

• 확장된 Mittag-Leffler 함수 $E_{\alpha,\beta}^{\gamma,c;\lambda,\rho}(z;p)$는 Theorem 2.1에 의해 $t^{\gamma-1}(1-t)^{c-\gamma-1}$, $_1F_1$, $E_{\alpha,\beta}^c(tz)$를 포함하는 적분 표현식을 갖는다.
• 확장된 Mittag-Leffler 함수의 멜린 변환은 Wright 초함수로 표현된다.
• 확장된 분수 도함수의 결과로 $z^{\delta-1}E_{\alpha,\beta}^c(z)$는 $\frac{z^{\mu-1}B(\delta,c-\delta)}{\Gamma(\mu-\delta)}E_{\alpha,\beta}^{\delta,\mu;\lambda,\rho}(z;p)$를 생성하며, 이는 분수 미적분학과 새로운 함수 사이의 핵심 연결 고리를 입증한다.
• 확장된 Mittag-Leffler 함수의 n번째 도함수는 $\frac{(c)_n(\lambda)_n}{(\rho)_n}E_{\alpha,\beta+n\alpha}^{\gamma+n,c+n;\lambda+n,\rho+n}(z;p)$로 주어지며, 이는 도함수 작용 하에서 매개변수 이동이 발생함을 보여준다.
• $\lambda = \rho$일 경우 새로운 확장은 Özarslan과 Yilmaz(2013)가 정의한 확장된 Mittag-Leffler 함수로 축소되며, $p=0$일 경우 일반화된 Mittag-Leffler 함수 $E_{\alpha,\beta}^{\gamma}(z)$로 축소된다.
• 확장된 분수 도함수 연산자는 $\lambda = \rho$ 이면서 $p=0$일 경우 고전적 리만-리우빌 도함수로 축소되며, 이는 기존 이론과의 일致성을 확인한다.