[논문 리뷰] Extension of representations in quasi *-algebras

Jean-Pierre Antoine, Фабио Багарелло외 1명|ArXiv.org|2009. 04. 06.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 위상적 쿼티-∗-대수 𝔄 내의 밀도를 이wers하는 ∗-서브대수 𝔄₀의 *-표현에 대한 클로처 기반 확장 방법을 개발하며, 원래 정의도메인을 초월한 비유계 연산자의 확장을 가능하게 한다. 주요 기여는 s*-위상에서의 극한을 통한 표현의 확장을 보여주는 것으로, CCR 대수와 L^p-L^s 쌍대성에서 명시적인 실현이 가능하며, 이는 쌍대 공간 내에서 더 큰 쿼티-∗-대수의 연산자 집합을 도출한다.

ABSTRACT

Let $(A, A_o)$ be a topological quasi *-algebra, which means in particular that $A_o$ is a topological *-algebra, dense in $A$. Let $π^o$ be a *-representation of $A_o$ in some pre-Hilbert space ${\cal D} \subset {\cal H}$. Then we present several ways of extending $π^o$, by closure, to some larger quasi *-algebra contained in $A$, either by Hilbert space operators, or by sesquilinear forms on ${\cal D}$. Explicit examples are discussed, both abelian and nonabelian, including the CCR algebra.

연구 동기 및 목표

• 밀도를 이wers하는 ∗-서브대수 𝔄₀의 위상적 쿼티-∗-대수 𝔄 내에서의 *-표현을 원래 정의도메인을 초월해 확장하는 문제를 다루는 것.
• 표현을 표준 비유계 연산자 클로처와 다를 바 있는 방식으로 새로운 연산자를 생성하는 클로처 기반 확장 절차를 개발하는 것.
• representation이 𝔄₀에서 𝔄 내의 더 큰 쿼티-∗-대수로 s*-위상에서의 수렴을 통해 확장될 수 있는 조건을 설정하는 것.
• 물리적으로 관련된 예시, 특히 CCR 대수와 L^p-L^s 쌍대성에서 확장 과정의 명시적 실현을 제공하는 것.
• 특히 s*-위상이 비유계 정의도메인에 정의된 표현의 확장을 가능하게 하는 데서 위상의 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 𝒟 ⊂ 𝒫 내의 밀집 부분공간에서 𝔄₀의 표현 π⁰을 정의하며, 𝒟에서 𝒫로 사상하는 연산자 및 그 수반 연산자가 𝒟로 사상하는 부분 O*-대수 𝒫(𝒟,𝒫)의 값으로 한다.
• φ ∈ 𝒟에 대해 ‖Aφ‖와 ‖A†φ‖를 이용한 준노름을 사용하여 𝒫(𝒟,𝒫)에 s*-위상을 도입하며, 이는 균일 위상보다 약한 위상이다.
• 모든 net {Xα} ⊂ 𝔄₀에 대해 Xα → X in τ 이고 π⁰(Xα)가 τ_op-Cauchy가 되는 X ∈ 𝔄의 집합으로서 𝔸̃(π, τ_op)을 정의한다.
• X ∈ 𝔸̃(π, τ_op)에 대해 π(X) = τ_op-lim π⁰(Xα)로 π⁰를 확장하며, 이 값은 𝒫(𝒟,𝒫)의 τ_op-완비화 내에 있다.
• s = 2p/(p−2)일 때 L^p(X)와 L^s(X) 사이의 쌍대성에 기반하여, π⁰가 L^p(X)에서의 GNS 표현이라면 𝔸̃(π, τ_s*) = L^s(X)임을 보인다.
• fₙ → 0 in L¹ 이고 π⁰(fₙ) → Y in s*-위상이라면 Y = 0임을 보여, 극한의 유일성을 확보함으로써 π⁰가 τ_s*-확장 가능하다는 것을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 쿼티-∗-대수 𝔄 내의 밀도를 이wers하는 ∗-서브대수 𝔄₀의 *-표현 π⁰은 더 큰 비유계 연산자 대수로 확장될 수 있는가?
• RQ2 이러한 확장을 가능하게 하는 표현 공간 위상의 구조는 무엇이며, 비유계 연산자의 표준 클로처와 어떻게 다를까?
• RQ3 CCR 대수 또는 L^p-L^s 쌍대성의 경우, 확장된 표현의 정확한 정의도메인은 무엇인가?
• RQ4 s*-위상은 균일 유계가 아닌 표현의 확장을 어떻게 지원하는가?
• RQ5 표현 공간의 완비화에서 확장된 표현이 유일하고 잘 정의되어 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 균일 위상에서의 C*-노름에 대해 이미 닫혀 있으므로, 𝒟 ⊂ L¹(X)인 C(X) 위에서의 표현 π⁰는 균일 위상에서 τ_op-확장 가능하지 않다.
• 그러나 s*-위상에서는 π⁰가 τ_s*-확장 가능하며, 확장된 정의도메인은 정확히 L^s(X)이며, 여기서 s = 2p/(p−2)이다.
• 𝒫(𝒟,𝒫)의 s*-위상 완비화는 전체 부분 O*-대수 𝒫†(𝒟,𝒫)와 일치함을 보여, s*-클로처가 가능한 모든 확장을 포괄함을 보여준다.
• L^p(X)에서의 GNS 표현에 대해, τ_s*-확장 가능 요소의 집합은 정확히 L^s(X)이며, 여기서 s = 2p/(p−2)이며, L^p(X)와의 쌍대성에 의해 도출된다.
• 확장 과정은 𝔄 내에 포함되며 곱과 켤레 연산에 대해 닫혀 있는 더 큰 쿼티-∗-대수 𝔸̃(π, τ_s*) ⊂ 𝔄를 도출한다.
• 이 구성은 L^s(X)를 확장된 관측 대수로 사용함으로써 CCR 대수의 명시적 실현을 제공한다.