[논문 리뷰] Extensions for supersingular representations of $GL_2(Q_p)$

Vytautas Paškūnas|arXiv (Cornell University)|2007. 10. 04.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $p > 2$이면, $π$가 $Γ₂(\mathbb{Q}_p)$의 초특이 표현일 때, 다른 스무스이고 기약인 표현 $τ$에 대한 비자명한 확장은 $τ \cong π$인 경우에만 존재하며, $p \geq 5$일 때 $Øππ ≅ 5$임을 계산한다. 이 결과는 콜메즈의 추측을 확인하고, $Γ₂(\mathbb{Q}_p)$의 스무스 기약 $¯{\mathbb{F}}_p$-표현 간의 확장을 완전히 분류하는 데 기여한다.

ABSTRACT

Let $p>2$ be a prime number. Let $G:=GL_2(Q_p)$ and $π$, $τ$ smooth irreducible representations of $G$ on $\bar{F}_p$-vector spaces with a central character. We show if $π$ is supersingular then $Ext^1_G(τ,π) eq 0$ implies $τ\cong π$. This answers affirmatively for $p>2$ a question of Colmez. We also determine $Ext^1_G(τ,π)$, when $π$ is the Steinberg representation. As a consequence of our results combined with those already in the literature one knows $Ext^1_G(τ,π)$ for all irreducible representations of $G$.

연구 동기 및 목표

• 중앙 문자를 가진 $Γ₂(\mathbb{Q}_p)$의 스무스 기약 $\overline{\mathbb{F}}_p$-표현 간의 가능한 모든 비자명한 확장을 규명하는 것.
• 콜메즈가 제기한 초특이 표현에 대한 $Øππ$의 구조에 관한 질문을 해결하는 것.
• 특히 $p > 2$일 때 초특이 $π$에 대해 $Øππ$의 차원을 계산하고, $p \geq 5$일 경우에 대해 이를 명시하는 것.
• 스테인버그 표현과 모든 기약 표현을 포함하여 확장을 분류하는 것을 확장하는 것.

제안 방법

• $\mathcal{H}$가 중심 문자 $\zeta$와 관련된 헤케 대수일 때, 스펙트럴 시퀀스 $\operatorname{Ext}^i_{\mathcal{H}}(\mathcal{I}(\tau), \mathbb{R}^j\mathcal{I}(\pi)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{i+j}_{G,\zeta}(\tau, \pi)$를 사용하는 것.
• 아이와사와-테이트 방법을 아이와호리 부분군 $I$와 그 프로-$p$ 근본군 $I_1$을 통해 적용하여 문제를 $I_1/Z_1$ 위의 코homology로 환원하는 것.
• 킨신과 올리비에의 결과를 활용하여 $\dim H^1(I_1/Z_1, \pi)$를 유계하고, $\mathbb{R}^1\mathcal{I}(\pi)$의 $\mathcal{H}$-모듈러 구조를 제어하는 것.
• 모드 $p$ Langlands 대응을 통해 $Øππ$를 갈루아 코hom로 $H^1(\mathrm{Ad}^0(\rho))$로 연결하는 것, 여기서 $\rho$는 관련 갈루아 표현이다.
• 국지 오일러 특성 공식을 적용하여 $h^1(\mathrm{Ad}^0(\rho)) = 3$ 및 $h^1(\mathrm{Ad}(\rho)) = 5$를 계산하고, 이는 $Øππ$의 하한을 제공한다.
• 베르거-브뤼엘 구성이 $R^{\pi,\eta}[1/p] \twoheadrightarrow R^{\omega\eta}[1/p]$를 유도함으로써, 특정 허드-테이트 조건을 만족하는 크리스탈린 점들이 $π$의 변형 공간에 포함됨을 의미하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $p > 2$일 때, 초특이 $π$에 대해 $Øππ \neq 0$이면 $τ \cong \pi$인지 여쭤보는 것.
• RQ2 $p \geq 5$일 때 초특이 $π$에 대해 $Øππ$의 정확한 차원은 무엇인지 여쭤보는 것.
• RQ3 모든 스무스 기약 $¯{\mathbb{F}}_p$-표현 간의 확장군이 완전히 분류될 수 있는가 여쭤보는 것.
• RQ4 $H^1(I_1/Z_1, \pi)$의 코homology 군과 $\mathbb{R}^1\mathcal{I}(\pi)$의 구조가 가능한 확장에 어떤 제약을 가하는가 여쭤보는 것.

주요 결과

• $p > 2$일 때, $π$가 초특이이고 $Øππ \neq 0$이면 $τ \cong \pi$이며, 이는 콜메즈의 추측을 확인한다.
• $p \geq 5$일 때 $Øππ = 5$이며, $p = 3$일 경우 최대 6으로 떨어진다.
• 확장군 $Øππ$는 정확한 시퀀스 $0 \to \operatorname{Ext}^1_{G,\zeta}(\pi, \pi) \to \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi) \to \operatorname{Hom}(Z, \overline{\mathbb{F}}_p) \to 0$에 들어가 있어, 중심 문자의 변형이 비자명한 확장을 기여하지 않음을 보여준다.
• 스테인버그 표현 $π$에 대해 $Øππ = 0$이며, $τ \cong \pi$가 아닐 경우를 제외하고, $p \geq 5$일 때 $Øππ = 5$이다.
• $Øππ$의 차원은 $h^1(\mathrm{Ad}^0(\rho)) = 3$로 하한이 주어지며, 실제로 $p \geq 5$일 때 값은 5이며 갈루아 코hom로 계산된 값과 일치한다.
• 베르거-브뤼엘 바나흐 공간 $B_x$의 구성과 $ω_E$에 대한 모듈로 줄임으로써 $π$를 얻으며, 크리스탈린 점의 자리즈키 밀도로 인해 $R^{\pi,\eta}[1/p] \twoheadrightarrow R^{\omega\eta}[1/p]$가 성립하며, 이는 $Øππ \geq 3$임을 유도한다.