[논문 리뷰] Extensions of Bougerol's identity in law and the associated anticipative path transformations

Yuu Hariya|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 부거롤의 법칙에 대한 정체성을 확장하여, 브라운 운동의 예측 가능한 경로 변환과 지수 기능 At에 의존하는 새로운 가족 Tz를 포함하는 과정 수준의 정체성을 제안한다. 주요 기여는 라돈-니코다임 밀도에 하이퍼볼릭 함수와 At가 포함된 지르산-유사 공식을 통해 변환된 브라운 운동 경로의 법칙을 연결하는 것으로, 고전적 정체성을 일반화하고 말리아빈 미적분학과 연결한다.

ABSTRACT

Let $B=\{ B_{t}\} _{t\ge 0}$ be a one-dimensional standard Brownian motion and denote by $A_{t},\,t\ge 0$, the quadratic variation of the geometric Brownian motion $e^{B_{t}},\,t\ge 0$. Bougerol's celebrated identity (1983) asserts that, if $\beta =\{ \beta (t)\} _{t\ge 0}$ is another Brownian motion independent of $B$, then $\beta (A_{t})$ is identical in law with $\sinh B_{t}$ for every fixed $t>0$. In this paper, we extend Bougerol's identity to an identity in law for processes up to time $t$, which exhibits a certain invariance of the law of Brownian motion. The extension is described in terms of anticipative transforms of $B$ involving $A_{t}$ as an anticipating factor. A Girsanov-type formula for those transforms is shown. An extension of a variant of Bougerol's identity is also presented.

연구 동기 및 목표

• 고정된 시간에서의 마진 분포에서부터 전체 경로 수준의 과정으로 부거롤의 법칙 정체성을 확장하기 위해.
• 기하 브라운 운동의 이차변동 At에 의존하는 예측 가능한 경로 변환 Tz를 개발하기 위해.
• Tz에 대한 변환된 브라운 운동 경로의 법칙을 위한 지르산-유사 공식을 수립하기 위해.
• 이러한 변환과 말리아빈 미적분학 간의 연결 고리를 탐색하기 위해, 특히 스토코로크홀 적분을 통해.
• 기존의 지수 기능 At와 관련된 정체성, 예를 들어 두프레인의 정체성과 부거롤 정체성의 변형을 일반화하기 위해.

제안 방법

• 지수 기능 At(φ) = ∫₀ᵗ e²φs ds 를 사용하여, s ∈ [0,t] 에 대해 Tz(φ)(s) = φs − log[1 + As(φ)/At(φ) (ez − 1)] 로 경로 변환을 정의한다.
• 과정 Tz(B)t−Argsh(eBt sinh x + β(At))(B) 가 {Bs}₀≤s≤t 와 법칙상 동일함을 증명하여, 부거롤의 정체성을 과정 수준으로 확장한다.
• 지르산-유사 공식 유도: E[F(Tz(B)) ] = E[ exp{(cosh Bt − cosh(z + Bt))/Zt} F(B) ], 여기서 Zt = e−Bt At 이다.
• Cameron–Martin 관계와 Zt의 확산 성질을 이용하여 결과를 정지 시간 τ로 확장한다.
• 스코로코홀 적분을 통한 도함수의 관계를 통해 결과를 말리아빈 미적분학과 연결한다: δ(∫₀ᵗ e²Bs ds / At) = sinh Bt / Zt.
• 이 틀을 적용하여, 라데마처 랜덤 변수 ε 과 브라운 운동의 드리프트가 있는 도달 시간을 포함하는 부거롤 정체성의 새로운 변형을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부거롤의 법칙 정체성은 고정된 시간의 마진 분포에서 전체 경로 수준의 과정으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 지수 기능 At에 의존하는 예측 가능한 경로 변환 Tz의 구조는 어떠한가?
• RQ3 이러한 변환에 대해 지르산-유사 공식을 어떻게 도출할 수 있으며, 라돈-니코다임 밀도의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ4 이러한 변환과 말리아빈 미적분학 간의 연결 고리는 무엇이며, 특히 스토코로크홀 적분 측면에서 어떻게 나타나는가?
• RQ5 이 틀을 사용하여 도달 시간과 지수 기능을 포함하는 새로운 정체성을 유도할 수 있는가, 예를 들어 β(A(1)t) = sinh B(ε)t 에 대해?

주요 결과

• 모든 고정된 x ∈ ℝ 에 대해 과정 Tx+Bt−Argsh(eBt sinh x + β(At))(B) 는 {Bs}₀≤s≤t 와 법칙상 동일하다. 이는 부거롤의 정체성을 과정 수준으로 확장한 것이다.
• 지르산-유사 공식이 수립되었으며, E[F(Tz(B))] = E[exp{(cosh Bt − cosh(z + Bt))/Zt} F(B)] 이며, Zt = e−Bt At 이다.
• E[F(B)] = E[exp{(cosh Bt − cosh(z + Bt))/Zt} F(T−z(B))] 인 정체성이 성립하여, 변환 간의 쌍대성 구조를 보여준다.
• µ > 0 인 경우, B(−µ)의 법칙은 z = log(2γµ A(−µ)∞) 인 T∗z 변환에 대해 불변하다. 여기서 γµ ∼ Gamma(µ) 이다.
• 정체성 (β(A(1)t), e−2B(1)t At, Z(1)t) (d) = (sinh B(ε)t, τ₁( ̂B(cosh B(ε)t / Z(ε)t)), Z(ε)t) 가 증명되었으며, 이는 부거롤 정체성의 변형을 일반화한 것이다.
• 스코로코홀 적분 δ(∫₀ᵗ e²Bs ds / At) 는 sinh Bt / Zt 와 동일하며, 이는 말리아빈 미적분학과의 연결 고리를 검증하고, 도함수 계산을 통한 지르산 공식의 확인을 가능하게 한다.