[논문 리뷰] Extensions of diffeomorphism and current algebras

T. A. Larsson|ArXiv.org|2000. 02. 07.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 Dzhumadil’daev의 미분형식 대수 $\mathfrak{diff}(N)$ 및 그 부분대수들(발산이 없는, 해밀토니안, 접촉 벡터장)의 텐서 모듈 확장 분류를 검토하고 확장하며, 물리학적으로 이해하기 쉬운 텐서 표기법을 사용하여 17개의 일반적 코호몰로지 족(17 generic cocycles)의 의미를 명확히 한다. 주요 기여는 모든 이러한 코호몰로지 족이 유한한 conformal weight $\lambda$로 매개변수화된 자명한 족의 극한으로서 나타나지만, 비자명한 바이랄로 및 미켈슨-파드데프 확장만을 제외하고는 그러한 극한임을 보여주는 것이다. 이는 닫힌 체인 조건에 의해 기하학적으로 구별되는 비자명한 확장임을 의미한다.

ABSTRACT

Dzhumadil'daev has classified all tensor module extensions of $diff(N)$, the diffeomorphism algebra in $N$ dimensions, and its subalgebras of divergence free, Hamiltonian, and contact vector fields. I review his results using explicit tensor notation. All of his generic cocycles are limits of trivial cocycles, and many arise from the Mickelsson-Faddeev algebra for $gl(N)$. Then his results are extended to some non-tensor modules, including the higher-dimensional Virasoro algebras found by Eswara Rao/Moody and myself. Extensions of current algebras with $d$-dimensional representations are obtained by restriction from $diff(N+d)$. This gives a connection between higher-dimensional Virasoro and Kac-Moody cocycles, and between Mickelsson-Faddeev cocycles for diffeomorphism and current algebras.

연구 동기 및 목표

• 물리학자들이 이해하기 쉬운 방식으로 Dzhumadil’daev의 $\mathfrak{diff}(N)$ 및 그 부분대수들의 텐서 모듈 확장 분류를 명시적인 텐서 표기법을 사용해 재구성한다.
• 텐서 모듈을 초월하여 고차원 바이랄로 대수와 커런트 대수 확장을 포함한 분류를 확장한다.
• 코호몰로지 성격을 명확히 하여, 자명한 족의 극한으로서 나타나는 족들과 비자명한 바이랄로 및 밀켈슨-파드데프 확장 사이의 차이를 분명히 한다.
• $\mathfrak{diff}(N+d)$에서의 제약을 통해 고차원 바이랄로 대수, 카크-무디 족, 그리고 밀켈슨-파드데프 대수 간의 연결 고리를 설정한다.

제안 방법

• 물리학자들이 접근하기 쉬운 방식으로 Dzhumadil’daev의 추상적인 코호몰로지 분류를 명시적인 텐서 표기법으로 재표현한다.
• conformal weight $\lambda$로 매개변수화된 자명한 족의 일파라미터 가중가중족을 구성하고, 극한 $\lambda \to \lambda_0$에서 비자명한 확장을 도출한다.
• $\mathfrak{diff}(N+d)$에서의 확장을 $\mathrm{map}(N,\mathfrak{g})$ 및 $\mathrm{map}(N,\mathfrak{diff}(d))$와 같은 부분대수로 제약하여, 커런트 대수 및 고차원 바이랄로 대수로 확장을 올린다.
• 바이랄로 및 밀켈슨-파드데프 족이 자명한 족의 극한으로 나타나지 않기 때문에, 코호몰로지상으로 비자명하다는 것을 확인한다.
• 닫힌 체인(일차 및 삼차 미분형식)의 기하학적 분석을 통해 바이랄로 및 MF 확장이 자명한 족의 폐쇄에 속하지 않는 이유를 설명한다.
• 전체 공간 대수에서 알려진 비자명한 확장으로 되돌아가서 부분대수 확장의 비자명성과 완전성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Dzhumadil’daev의 $\mathfrak{diff}(N)$ 텐서 모듈 확장 분류는 물리학자들이 이해하기 쉬운 텐서 기반 형식으로 어떻게 재구성될 수 있는가?
• RQ2 Dzhumadil’daev 분류의 17개의 일반적 족 중에서 어떤 것이 자명한 족의 극한이며, 이는 그들의 코호몰로지 상태에 어떤 함의를 갖는다?
• RQ3 고차원 바이랄로 대수와 커런트 대수 확장은 $\mathfrak{diff}(N+d)$에서 제약을 통해 구성될 수 있으며, 이는 기존의 족들과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 왜 바이랄로 및 밀켈슨-파드데프 확장은 다른 족들과 달리 자명한 족의 극한이 아니며, 그 기하학적 이유는 무엇인가?
• RQ5 Dzhumadil’daev, Ovsienko, Roger가 분류한 일차원 족의 고차원 일반화는 존재하는가, 그리고 그것들은 물리적으로 의미가 있는가?

주요 결과

• Dzhumadil’daev의 모든 일반적 족, 즉 삼차, 사차, 오차형 족들 역시 conformal weight $\lambda$로 매개변수화된 연속적인 가중족의 극한으로 이해될 수 있으며, 이 극한은 임계값 $\lambda_0$에서 취해진다.
• 바이랄로 및 밀켈슨-파드데프(MF) 확장은 닫힌 체인(일차 및 삼차 미분형식)을 포함하므로 기하학적으로 구별되며, 따라서 자명한 족의 극한으로 나타나지 않는다.
• Eswara Rao와 Moody의 고차원 바이랄로 대수, 그리고 $d$차원 표현을 가진 커런트 대수 확장들은 $\mathfrak{diff}(N+d)$에서의 제약을 통해 구성되며, 이는 미분형식 대수와 카크-무디 족 간의 직접적인 연결 고리를 확립한다.
• DRO(N) 대수 내의 네 개의 서로 비동치인 바이랄로 유사 족($\psi^W_1$에서 $\psi^W_4$에 해당)는 비자명하며, 각각 다른 Fock 모듈 구조에 대응한다.
• $\psi^W_3$ 및 $\psi^W_4$ 족은 혼합항 $c(\xi,f)$ 및 $c(f,g)$에서만 비영이 되며, 표준 바이랄로 족의 일반화로 간주되며 코호몰로지상으로 비자명하다.
• $\mathfrak{diff}(N+d)$에서의 제약을 통한 구성은 전체 공간 대수의 텐서 모듈 확장으로 올릴 수 있는 부분대수의 모든 확장을 자동으로 고갈시키며, 이 클래스 내에서 완전성을 보장한다.