[논문 리뷰] Extensions of Positive Definite Functions: Applications and Their Harmonic Analysis

Palle E. T. Jørgensen, Steen Pedersen외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 09.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 109인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴acts한 군, 특히 리 군의 부분집합에서 정의된 양의 정부호(positive definite, p.d.) 연속 함수의 확장을 조사하며, 재생 커널 힐버트 공간(RKHS) 내에서 단위(unitary) 표현과 자기수반(self-adjoint) 연산자와의 연결고리를 밝혀낸다. 넓은 조건 하에서 이러한 확장이 존재함을 입증하고, 연산자 이론과 스펙트럼 측도를 통해 구조적 방법을 제공하며, RKHS의 원자적, 절대 연속적, 특이 연속적 성분으로의 정준 분해를 드러낸다. 또한 확장 집합의 극점과 함수의 허수부의 역할에 대한 핵심 결과를 제시한다.

ABSTRACT

We study two classes of extension problems, and their interconnections: (i) Extension of positive definite (p.d.) continuous functions defined on subsets in locally compact groups $G$; (ii) In case of Lie groups, representations of the associated Lie algebras $La\left(G ight)$ by unbounded skew-Hermitian operators acting in a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) $\mathscr{H}_{F}$. Why extensions? In science, experimentalists frequently gather spectral data in cases when the observed data is limited, for example limited by the precision of instruments; or on account of a variety of other limiting external factors. Given this fact of life, it is both an art and a science to still produce solid conclusions from restricted or limited data. In a general sense, our monograph deals with the mathematics of extending some such given partial data-sets obtained from experiments. More specifically, we are concerned with the problems of extending available partial information, obtained, for example, from sampling. In our case, the limited information is a restriction, and the extension in turn is the full positive definite function (in a dual variable); so an extension if available will be an everywhere defined generating function for the exact probability distribution which reflects the data; if it were fully available. Such extensions of local information (in the form of positive definite functions) will in turn furnish us with spectral information. In this form, the problem becomes an operator extension problem, referring to operators in a suitable reproducing kernel Hilbert spaces (RKHS). In our presentation we have stressed hands-on-examples. Extensions are almost never unique, and so we deal with both the question of existence, and if there are extensions, how they relate back to the initial completion problem.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴acts한 군에서 국소적으로 정의된 양의 정부호 함수를 전역적으로 정의된 것으로 확장하는 수학적 과제를 다루는 것.
• 재생 커널 힐버트 공간(RKHS)을 통한 조화 해석학적 접근을 통해 이러한 확장을 단위 표현과 스펙트럼 이론과 연결하는 것.
• 모든 가능한 확장의 공간의 구조를 분석하고, 특히 극점과 함수의 허수부에 대한 의존성을 규명하는 것.
• 무한차원 설정으로 결과를 일반화하고, 확률 이론 및 스토케스틱 과정과의 연결고리를 탐색하는 것.
• 명시적 구성과 예시를 제공하며, 특히 RKHS를 원자적, 절대 연속적, 특이 연속적 부분공간으로 분할하는 것.

제안 방법

• 연속적인 p.d. 함수를 유한한 양의 측도의 푸리에 변환으로 특성화하는 보흐너의 정리를 사용하여, 확장 문제를 조화 해석학의 틀 안에서 재구성한다.
• 각 p.d. 함수의 확장을 단위 표현 G의 표현과 연결하기 위해 단위 표현 이론과 프로젝션-값 측도(PVM) 이론을 적용한다.
• p.d. 함수 F와 관련된 RKHS의 구조를 활용하여, 기저 힐버트 공간의 스펙트럼 분해를 원자적, 절대 연속적, 특이 연속적 부분으로 분해한다.
• 자기수반 및 반에르미트 연산자 확장 기법을 활용하며, 특히 G = ℝ인 경우의 결함 지수(deficiency indices) (1,1)에 중점을 둔다.
• 크라인과 드 브랑지의 연산자 확장 결과를 활용하여 ℝ에 대한 모든 p.d. 확장을 분류하고, 연산자 확장 이론과 p.d. 함수 확장 이론을 연결한다.
• 함수 F의 허수부가 확장 집합 Ext(F)의 구조를 결정하는 데서의 역할을 분석하며, 특히 RKHS 내 연관된 반에르미트 연산자 D^(F)와의 관계를 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 컴acts한 군의 부분집합에서 정의된 연속적인 양의 정부호 함수가 전체 군으로의 전역 확장이 가능할 조건은 무엇인가?
• RQ2 모든 p.d. 확장의 볼록 집합 내 극점은 원래 함수의 허수부와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 양의 정부호 함수와 관련된 재생 커널 힐버트 공간의 스펙트럼 분해는 무엇이며, 그 성분들(원자적, 절대 연속적, 특이 연속적)은 군 표현으로부터 어떻게 유도되는가?
• RQ4 RKHS 내 반에르미트 연산자 D^(F)의 성질은 함수 F의 허수부에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 확장 이론의 무한차원 설정에 대한 함의는 무엇인가? 특히 확률 이론 및 분수 브라운 운동과 같은 스토케스틱 과정과의 관계는 어떻게 되는가?

주요 결과

• ℝⁿ의 유계 열린 부분집합에서 정의된 임의의 연속적인 양의 정부호 함수에 대해, 전체 군 ℝⁿ으로의 연속적인 양의 정부호 확장이 적어도 하나 존재한다.
• p.d. 함수 F와 관련된 재생 커널 힐버트 공간 ℋ_F는 세 부분공간 ℋ_F^(atom), ℋ_F^(ac), ℋ_F^(sing)으로의 정준 직교 분해를 갖는다. 이는 각각 관련된 스펙트럼 측도의 원자적, 절대 연속적, 특이 연속적 부분에 대응한다.
• 모든 세 성분이 비영인 명시적 예시를 구성하였으며, 특히 원자적 부분공간은 일차원이며, 나머지 두 성분은 무한차원이다.
• 주어진 함수 F의 모든 p.d. 확장 집합 Ext(F)는 컴팩트한 볼록 집합이며, 그 극점들은 F의 허수부와 연관된 반에르미트 연산자 D^(F)로 기술된다.
• G = ℝ인 경우, 모든 p.d. 확장은 결함 지수 (1,1)인 대칭 연산자의 자기수반 확장에 의해 분류될 수 있으며, 이는 고전적 연산자 이론과 연결된다.
• 논문은 온화한 측도(예: 1/2 < g < 1인 |x|^g dx)가 연속적이지 않은 p.d. 함수를 유도할 수 있음을 입증하고, 이러한 경우에도 확장 프레임워크를 적응시킬 수 있음을 보여, 유한 측도를 넘는 범위로의 확장을 가능하게 한다.