[논문 리뷰] Extensions of the class of multiplicative functions

Pentti Haukkanen|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 30.

Advanced Mathematical Identities인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 산술 연산과의 복합에서 고전적 곱함수의 한계를 극복하기 위해 곱함수의 세 가지 확장—준곱함수, 준곱함수, 세르베르 곱함수—을 도입하고 분석한다. Ramanujan의 합과 정수에 대한 그의 유사체가 두 번째 변수에 대해 준곱함수이며, 두 변수에 대해 곱함수임을 증명하며, 복합 기반의 특성과 항등식을 제시한다.

ABSTRACT

We consider the classes of quasimultiplicative, semimultiplicative and Selberg multiplicative functions as extensions of the class of multiplicative functions. We apply these concepts to Ramanujan's sum and its analogue with respect to regular integers (mod r).

연구 동기 및 목표

• f(kn), f(n/k), f([k,n])와 같은 복합에 대해 고전적 곱함수의 불안정성을 해결하기 위해 일반화된 함수 클래스를 도입한다.
• 준곱함수, 준곱함수, 세르베르 곱함수를 정의하고 특성화하여 곱함수의 자연스러운 확장으로서 정의한다.
• Ramanujan의 합과 정수 모듈로 r에 대한 그의 유사체의 곱함수성 및 준곱함수 성질을 조사한다.
• 수론적 함수의 맥락에서 이러한 확장된 클래스에 대해 복합 기반의 항등식과 구조적 특성화를 수립한다.

제안 방법

• 서로소인 m, n에 대해 c·f(mn) = f(m)f(n) 조건을 통해 준곱함수를 도입하며, c = f(1)로 정의되어 곱함수를 스케일링한 일반화이다.
• f(n) = c·fₘ(n/a) 형태로 준곱함수를 정의하며, fₘ는 곱함수이고 fₘ(x) = 0 (비정수 x에 대해), f(a) ≠ 0 이며 a∤n 이면 f(n) = 0 이다.
• 모든 m,n ∈ ℕ에 대해 f(m)f(n) = f((m,n))f([m,n]) 인 항등식을 통해 준곱함수를 특성화한다.
• f(n) = ∏ₚ Fₚ(νₚ(n)) 형태의 분해를 통해 세르베르 곱함수를 적용하며, 유한한 수의 p를 제외한 모든 p에 대해 Fₚ(0) = 1 이다.
• 유니터리 및 딜리클레 복합을 사용하여 Ramanujan의 합과 그 정수에 대한 유사체의 곱함수적 구조를 분석한다.
• 표준적 소인수 분해와 소거법 분해를 활용하여 곱함수성 및 준곱함수성에 대한 명시적 공식과 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 f(kn) 및 f([k,n])와 같은 복합에 대해 곱함수의 클래스를 어떻게 확장하여 곱함수적 행동을 유지할 수 있는가?
• RQ2 준곱함수, 준곱함수, 세르베르 곱함수의 구조적 특성 및 특성화 성질은 무엇인가?
• RQ3 Ramanujan의 합 c_r(n)은 n에 대해 준곱함수인가? 어떤 조건에서 곱함수 또는 준곱함수인가?
• RQ4 정수에 대한 Ramanujan의 합의 유사체 c̄_r(n)은 r과 n에 대해 곱함수 또는 준곱함수 성질을 보이는가?
• RQ5 c_r(n)과 c̄_r(n)에 대해 두 변수에 대한 곱함수적 구조를 반영하는 복합 항등식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• Ramanujan의 합 c_r(n)은 r에 대해 곱함수이며, n에 대해 준곱함수이다. c_r(n) ≠ 0 가 되는 가장 작은 n은 r/γ(r)이며, 여기서 γ(r)는 r의 서로 다른 소인수의 곱이다.
• c_r(n)이 n에 대해 준곱함수이기 위한 필요충분조건은 r가 제곱자유임을, 곱함수이기 위한 조건은 r가 제곱자유이면서 ω(r)가 짝수임을 의미한다.
• 유사체 c̄_r(n)은 r에 대해 곱함수이며, n에 대해 준곱함수이다. c̄_r(n) ≠ 0 가 되는 가장 작은 n은 ∏_{p‖r} p 이다.
• c̄_r(n)이 n에 대해 곱함수이기 위한 필요충분조건은 r가 제곱완전이거나 r = 1임을, 준곱함수이기 위한 조건은 그것이 n에 대해 곱함수임을 의미한다.
• 서로소인 m,n에 대해 항등식 c_r(m)c_r(n) = μ(r)c_r(mn) 이 성립하며, 그 유사체에 대해서도 c̄_r(m)c̄_r(n) = μ̄(r)c̄_r(mn) 이 성립한다. 여기서 μ̄(r) = 1 이며 r가 제곱완전이거나 r = 1 이면, 그 외에는 0 이다.
• 함수 f(n,r) = c̄_r(n)은 두 변수에 대해 곱함수이며, 서로소인 m,n에 대해 f(m,r)f(n,r) = f(1,r)f(mn,r) 를 만족한다.