[논문 리뷰] Extensive entropy from unitary evolution

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 05.

Quantum many-body systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비퇴화 에너지 갭을 가진 양자 다체 해밀토니안이 일반적인 국소적 상호작용 하에서 무작위 제품 상태에서 진화할 때 광범위한 얽힘 엔트로피를 생성함을 증명한다. 이는 이러한 시스템이 장시간에 걸쳐 거의 확실하게 체적법칙에 따라 얽힘 엔트로피를 나타냄을 보여주며, 다체 국소화 이론에서 오랫동안 관찰되어 온 현상을 해결하고 고립된 양자 시스템에서 광범위한 엔트로피의 일반적 발생을 확인한다.

ABSTRACT

In quantum many-body systems, a Hamiltonian is called an ``extensive entropy generator'' if starting from a random product state the entanglement entropy obeys a volume law at long times with overwhelming probability. We prove that (i) any Hamiltonian whose spectrum has non-degenerate gaps is an extensive entropy generator; (ii) in the space of (geometrically) local Hamiltonians, the non-degenerate gap condition is satisfied almost everywhere. Specializing to many-body localized systems, these results imply the observation stated in the title of Bardarson et al. [PRL 109, 017202 (2012)].

연구 동기 및 목표

• 고립된 양자 다체 시스템에서 광범위한 얽힘 엔트로피의 일반적 발생을 수학적으로 특성화하는 것.
• 비퇴화 에너지 갭을 가진 해밀토니안이 무작위 제품 상태에서 체적법칙에 따라 얽힘 엔트로피를 생성함을 확립하는 것.
• 비퇴화 갭 조건이 국소 해밀토니안의 공간에서 얼마나 일반적인가를 보여주는 것.
• 다체 국소화 시스템의 일반적인 국소적 외란이 무한정 증가하는 얽힘 엔트로피를 유도한다는 오랫동안 관찰된 수치적 관측을 해결하는 것.

제안 방법

• 일반적인 초기 순수 상태를 모델링하기 위해 Haar-무작위 제품 상태를 초기 조건으로 사용한다.
• 장시간 얽힘 동역학을 분석하기 위해 감소 밀도 행렬의 무한시간 평균을 적용한다.
• 해밀토니안의 스펙트럼 분석을 통해 에너지 차이에 대한 비퇴화 갭 조건을 정의하고 검증한다.
• 측도 집중 및 랜덤 매트릭스 이론을 활용하여 체적법칙에 따른 얽힘 엔트로피가 발생할 확률이 지수적으로 1에 가까워짐을 보여준다.
• 비퇴화 갭 스펙트럼을 실현하기 위해 명시적인 모델(예: 교대 자기장이 있는 XXZ 체인)을 구축한다.
• von Neumann 엔트로피의 하위가역성과 볼록성 성질을 활용하여 장시간 평균 얽힘 엔트로피의 상한을 구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 국소 해밀토니안이 어떤 조건에서 무작위 제품 상태에서 광범위한 얽힘 엔트로피를 생성하는가?
• RQ2 비퇴화 갭 조건은 장시간에 걸쳐 체적법칙에 따른 얽힘 엔트로피를 유도하는 데 충분한가?
• RQ3 비퇴화 갭 조건은 국소 해밀토니안의 공간에서 얼마나 일반적인가?
• RQ4 다체 국소화 시스템의 일반적인 국소적 외란은 무한정 증가하는 얽힘 엔트로피를 유도하는가?
• RQ5 일반적인 양자 다체 시스템에서 체적법칙에 따른 얽힘 엔트로피가 거의 확실하게 발생함을 엄밀히 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 비퇴화 에너지 갭을 가진 모든 해밀토니안은 무작위 제품 상태에서 확률 1 - e^(-Ω(N))로 체적법칙에 따라 얽힘 엔트로피를 생성한다.
• 비퇴화 갭 조건은 기하학적으로 국소적 해밀토니안 공간의 거의 전역에서 성립한다.
• 크기가 n인 부분계의 장시간 평균 얽힘 엔트로피는 고확률으로 S ≥ (1 - ε)n ∑_{k=2}^d 1/k 를 만족한다.
• 이 결과는 Bardarson 등(2012)의 관측을 확인한다. 즉, 다체 국소화 시스템의 일반적인 국소적 외란은 무한정 증가하는 얽힘 엔트로피를 유도한다.
• 일차원 스핀 체인과 큐딧 시스템에서 비퇴화 갭을 가진 해밀토니안의 명시적 구성이 존재한다.
• 얽힘 엔트로피의 무한시간 평균은 단일 스ites의 von Neumann 엔트로피 합으로 상한이 정해지며, 이는 Haar-무작위 상태에서 통계적으로 알려져 있다.