[논문 리뷰] Extensive Rényi entropies in matrix product states

Alberto Rolandi, Henrik Wilming|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 26.

Quantum many-body systems참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인, 갭이 있는, 이동 대칭성을 가진 매트릭스 곱 상태(MPS)에서, 비연결된 부분계의 레니 엔트로피가 열역학적 극한에서 광범위한지 여부는 상태가 근원적으로 제품 상태로 수렴하지 않는 한에 한하여 결정됨을 증명한다. 저자들은 전달 연산자의 전개 계수와 고정점 스펙트럼 성질을 이용하여 엔트로피 밀도에 대한 명시적인 하한을 유도하며, 크라우스 랭크와 엔트로피를 고려한 원시 양자 채널에 대한 추가 하한도 제시한다.

ABSTRACT

We prove that all Rényi entanglement entropies of spin-chains described by generic (gapped), translational invariant matrix product states (MPS) are extensive for disconnected sub-systems: All Rényi entanglement entropy densities of the sub-system consisting of every k-th spin are non-zero in the thermodynamic limit if and only if the state does not converge to a product state in the thermodynamic limit. Furthermore, we provide explicit lower bounds to the entanglement entropy in terms of the expansion coefficient of the transfer operator of the MPS and spectral properties of its fixed point in canonical form. As side-result we obtain a lower bound for the expansion coefficient and singular value distribution of a primitve quantum channel in terms of its Kraus-rank and entropic properties of its fixed-point. For unital quantum channels this yields a very simple lower bound on the distribution of singular values and the expansion coefficient in terms of the Kraus-rank. Physically, our results are motivated by questions about equilibration in many-body localized systems, which we review.

연구 동기 및 목표

• gapped, 이동 대칭성을 가진 MPS에서 레니 엔트로피 엔트로피의 이분법을 확립: 열역학적 극한에서 광범위하거나 0이 되는가.
• 전달 연산자의 전개 계수와 고정점 스펙트럼 데이터에 기반한 레니 엔트로피 밀도에 대한 명시적인 하한을 도출.
• 크라우스 랭크와 고정점 엔트로피 성질을 이용하여 원시적, 단위적, 추적을 보존하는 양자 채널의 특이값 분포와 전개 계수에 대한 새로운 하한을 제공.
• 이러한 결과를 다체 국소화 시스템에서의 평형화와 연결하여, 비연결 부분계 엔트로피를 연구하는 데 동기를 부여.

제안 방법

• MPS의 전달 연산자 T와 그 거듭제곱 T^m을 분석하여 블록으로 구성된 부분계의 엔트로피를 연구.
• 매우 정확한 전달 연산자를 도입하여 매 k번째 스핀으로 이루어진 부분계에 대한 레니 엔트로피 밀도 하한 s_α^(k)를 계산.
• MPS의 표준형을 이용하여 쌍대 전달 맵의 고정점과 그 스펙트럼 성질을 분석.
• 완전히 양성적(CP) 매핑과 양자 채널 기법을 적용하며, 특히 전개 계수와 특이값에 중점을 둔다.
• 크라우스 랭크와 고정점의 레니-2 엔트로피를 이용하여 전개 계수와 특이값 분포에 대한 하한을 도출.
• 스펙트럼 분해와 트레이스 부등식을 활용하여 엔트로피 밀도와 채널의 수렴 속도를 상한으로 제한.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 gapped, 이동 대칭성을 가진 MPS에서 비연결 부분계의 레니 엔트로피가 열역학적 극한에서 광범위해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 레니 엔트로피의 소멸과 MPS가 열역학적 극한에서 제품 상태로 수렴하는 것 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 원시적, 단위적, 추적을 보존하는 양자 채널의 전개 계수와 특이값 분포는 크라우스 랭크와 고정점 엔트로피로 어떻게 하한을 구할 수 있는가?
• RQ4 전달 연산자의 고정점 스펙트럼 데이터를 이용하여 레니 엔트로피 밀도에 대한 더 강한 하한을 유도할 수 있는가?
• RQ5 이러한 결과는 비.i.i.d. MPS 텐서나 PEPS와 같은 고차원 시스템으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 레니 엔트로피는 매 k번째 스핀 부분계에 대해 열역학적 극한에서 상태가 제품 상태로 수렴하지 않는 한 광범위하다.
• 레니 엔트로피 밀도 s_α^(k)는 비틀린 전달 연산자의 최대 고유값에 의존하는 양으로 하한이 존재하며, 이는 MPS 텐서로부터 계산 가능하다.
• 전달 연산자의 전개 계수와 표준형에서의 고정점 스펙트럼 성질에 기반한 s_α^(k)에 대한 명시적인 하한이 도출되었다.
• 원시적, 단위적, 추적을 보존하는 양자 채널에 대해, 전개 계수와 특이값 분포는 크라우스 랭크와 고정점의 레니-2 엔트로피를 포함하는 표현식으로 하한이 존재한다.
• 전개 계수에 대한 하한은 일반적으로 날카롭지 않으며, 향후 연구에서 개선의 여지가 있음을 시사한다.
• 결과적으로 이러한 시스템에서 레니 엔트로피의 중간 척도(예: √n)는 불가능하며, 광범위성과 0으로 수렴하는 엔트로피 사이의 엄격한 이분법을 확인한다.