[논문 리뷰] Extinction and spreading of a species under the joint influence of climate change and a weak Allee effect: a two-patch model

Juliette Bouhours, Thomas Giletti|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 25.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 기후 변화에 의해 영향을 받는 서식지 이동과 약한 알리 효과를 겪는 종을 다루는 두 영역 반응-확산 모델을 연구한다. 종의 멸종 또는 확산 여부는 기후 이동 속도와 초깃값의 크기 양쪽 모두에 의해 결정되며, 이는 기후 속도에 따라 변하는 비직선 임계 속도가 존재함을 시사한다. 이는 KPP의 경우에 비해 임계 속도가 속도 외에도 초깃값에 의존한다는 점에서 뚜렷하게 다름을 보인다.

ABSTRACT

Many species see their range shifted poleward in response to global warming and need to keep pace in order to survive. To understand the effect of climate change on species ranges and its consequences on population dynamics, we consider a space-time heterogeneous reaction-diffusion equation in dimension 1, whose unknown~$u (t,x)$ stands for a population density. More precisely, the environment consists of two patches moving with a constant climate shift speed $c \geq 0$: in the invading patch $\{ t >0 , \, x \in \R \, | \ x < ct \}$ the growth rate is negative and, in the receding patch $\{ t >0 , \, x \in \R \, | \ x \geq ct \}$ it is of the classical monostable type. Our framework includes species subject to a weak Allee effect, meaning that there may be a positive correlation between population size and its per capita growth rate. We study the large-time behaviour of solutions in the moving frame and show that whether the population spreads or goes extinct depends not only on the speed $c$ but also, in some intermediate speed range, on the initial datum. This is in sharp contrast with the so-called `hair-trigger effect' in the homogeneous monostable equation, and suggests that the size of the population becomes a decisive factor under the joint influence of climate change and a weak Allee effect. Furthermore, our analysis exhibit sharp thresholds between spreading and extinction: in particular, we prove the existence of a threshold shifting speed which depends on the initial population, such that spreading occurs at lower speeds and extinction occurs at faster speeds.

연구 동기 및 목표

• 기후 변화에 의한 서식지 이동과 약한 알리 효과가 종의 지속성 또는 멸종에 어떻게 영향을 미치는지 이해하기 위해.
• 약한 알리 효과가 포함된 경우에도 고전적인 '털다운 효과'가 단일 안정 반응-확산 방정식에서 유지되는지 조사하기 위해.
• 중간 수준의 기후 이동 속도에서 확산 또는 멸종 여부가 초깃값의 크기에 따라 달라지는지 조사하기 위해.
• 확산과 멸종을 분리하는 날카운 임계 속도 $ c(u_0) $ 를 규명하고, 그 종속성 구조를 분석하기 위해.
• 초기 인구 분포에 따라 장기적 인구 운명을 결정짓는 임계 속도 $ c(u_0) $ 가 존재함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 기후 환경이 이동하는 것을 모델링하기 위해 시간와 공간에 따라 변화하는 반응항 $ f(x - ct, u) $ 를 가진 일차원 반응-확산 방정식을 수립한다.
• 부적절한 영역($ x - ct < 0 $)에서는 반응항을 음수로, 유리한 영역($ x - ct \geq 0 $)에서는 단일 안정성 반응항으로 정의하며, $ g'(0) > 0 $ 를 통해 약한 알리 효과를 포함시킨다.
• 하향 및 상향 해법 방법과 비교 원리를 사용하여 이동 기준 프레임 $ z = x - ct $ 에서 장기적 행동을 분석한다.
• 해의 부호 변화에 대한 스투름 원리를 적용하여 영역의 영점 집합을 추적하고 파동 유사한 구조의 단조성을 확보한다.
• 속도 매개변수 $ c $ 에서의 연속성 추론과 균일한 경계 조건을 활용하여 초깃값에 의존하는 임계 속도의 존재를 증명한다.
• 이동 기준 프레임에서의 해 행동을 분석하여, 해가 0으로 수렴하는지(멸종) 또는 비자명한 정적 상태로 수렴하는지(확산)를 판단한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 알리 효과가 존재할 경우, KPP의 경우와 비교해 기후 이동에 따른 종 지속의 고전적 임계 속도가 어떻게 변화하는가?
• RQ2 중간 수준의 기후 이동 속도에서 초깃값의 크기가 종의 확산 또는 멸종 여부를 결정짓는가?
• RQ3 확산과 멸종을 분리하는 날카운 임계 속도 $ c(u_0) $ 가 존재하는가? 그리고 이는 초깃값의 분포에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 특히 멸종 또는 정착 여부에 대해 $ c > 2\sqrt{g'(0)} $ 와 $ c = 2\sqrt{g'(0)} $ 의 경우에 해 행동이 어떻게 다를까?
• RQ5 해가 균일하게 0으로 수렴하는 조건은 언제이며, 이는 멸종을 의미하는가? 반면 이동 기준 프레임에서 해가 어떻게 유지되는가?

주요 결과

• 확산과 멸종을 분리하는 임계 속도 $ c(u_0) $ 는 KPP의 경우와 달리 초깃값의 크기 $ u_0 $ 에 따라 비선형적으로 의존한다.
• 중간 속도 범위 $ c \in [2\sqrt{g'(0)}, c^*) $ 에서 결과(확산 또는 멸종)는 $ c $ 뿐 아니라 초깃값에 의존한다.
• 만약 $ c = c(u_0) > 2\sqrt{g'(0)} $ 이면, KPP의 임계 속도 $ c^* $ 이하이더라도 알리 효과로 인해 정착(최종 멸종)이 발생한다.
• 확산은 $ c < c(u_0) $ 에서 발생하고, 멸종은 $ c > c(u_0) $ 에서 발생하는 임계 속도 $ c(u_0) $ 가 존재하며, 이는 초깃값의 크기가 클수록 증가한다.
• 해가 $ t \to \infty $ 에서 균일하게 0으로 수렴함을 확인하여, KPP의 임계 속도 이하이더라도 멸종이 발생함을 입증한다.
• 확산과 멸종 사이의 날카운 임계값이 존재함을 분석적으로 증명하였으며, 이 임계 속도는 초깃값의 공간적 지지도와 크기에 의존한다.