[논문 리뷰] Extinction behaviour for the fast diffusion equations with critical exponent and Dirichlet boundary conditions

Yannick Sire, Juncheng Wei외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 01.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ n \geq 3 $ 인 일반적인 미세한 유계 영역 $ \mathbb{R}^n $ 에서 빠른 확산 방정식의 임계 지수 $ m = \frac{n-2}{n+2} $ 와 딜레클레 경계 조건에 대해 엄밀한 소멸 행동을 확립한다. 포물선 접합 방법을 사용하여, 로그 보정을 포함한 정확한 점 渐近 프로파일을 갖는 유한 시간 $ T $ 에 소멸하는 해를 구성함으로써, 갈라크티온과 킹의 반지름 대칭 케이스에 대한 추측을 확인하고 확장한다.

ABSTRACT

For a smooth bounded domain $Ω\subseteq\mathbb{R}^n$, $n\geq 3$, we consider the fast diffusion equation with critical sobolev exponent $$\frac{\partial w}{\partialτ} =Δw^{\frac{n-2}{n+2}}$$ under Dirichlet boundary condition $w(\cdot, τ) = 0$ on $\partialΩ$. Using the parabolic gluing method, we prove existence of an initial data $w_0$ such that the corresponding solution has extinction rate of the form $$\|w(\cdot, τ)\|_{L^\infty(Ω)} = γ_0(T-τ)^{\frac{n+2}{4}}\left|\ln(T-τ) ight|^{\frac{n+2}{2(n-2)}}(1+o(1))$$ as $t o T^-$, here $T > 0$ is the finite extinction time of $w(x, τ)$. This generalizes and provides rigorous proof of a result of Galaktionov and King \cite{galaktionov2001fast} for the radially symmetric case $Ω=B_1(0) : = \{x\in \mathbb{R}^n||x| < 1\}\subset\mathbb{R}^n$.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 미세한 유계 영역에서 임계 지수 $ m = \frac{n-2}{n+2} $ 를 가진 빠른 확산 방정식의 소멸 행동에 대한 엄밀한 점 渐近 분석을 제공하는 것.
• 반지름 대칭 케이스에 국한된 갈라크티온과 킹의 형식적 결과를 임의의 미세한 영역으로 확장하는 것.
• 특정 소멸 속도와 로그 보정을 갖는 초기 자료의 존재를 확립하는 것.
• 영역 내 고정된 점들 주변에 다중 피크를 갖는 구조를 가진 해의 폭발 프로파일을 특성화하는 것.

제안 방법

• 소멸 시간 근처에서 주어진 점 渐近 행동을 갖는 해를 구성하기 위해 포물선 접합 방법을 사용하는 것.
• 해를 내부 영역과 외부 영역으로 분해하며, 내부 영역은 $ \Omega $ 내의 $ k $ 개의 고정된 점 $ q_j $ 근처의 국소적 피크 행동을 포착한다.
• 일치하는 점 渐近 전개 접근법을 사용하여, 내부 해는 표준 기저 상태 $ U(y) $ 를 기반으로 하고, 외부 해는 딜레클레 경계 조건을 갖는 그린 함수에 의해 지배된다.
• 피크의 진폭과 위치를 기술하기 위해 매개변수 함수 $ \tilde{\mu}_j(\tau) $ 와 $ \tilde{\xi}_j(\tau) $ 를 도입하며, $ \tilde{\mu}_j \sim \beta_j \left(\log \frac{T}{T-\tau}\right)^{-1/(n-2)} $ 라고 한다.
• 가중 함수 공간에서 고정점 정리로 내부 및 외부 문제를 해결함으로써, 수직성과 감쇠 조건을 확보하는 것.
• 매개변수에 대한 유도된 상미분 방정식계의 가역성을 수축 사상과 섭동 이론을 통해 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 미세한 유계 영역에서 임계 지수 $ m = \frac{n-2}{n+2} $ 를 가진 빠른 확산 방정식의 해의 정확한 소멸 속도는 무엇인가?
• RQ2 특히 피크 국소화와 진폭 감쇠 측면에서 소멸 시간 $ T $ 근처에서 해의 프로파일은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 반지름 대칭 케이스에 대해 갈라크티온과 킹이 제시한 형식적 점 渐近 결과는 비반지름 영역으로 엄밀하게 확장 가능한가?
• RQ4 그린 함수와 그린 함수의 정규 부분이 소멸 프로파일을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 점 $ q_1, \dots, q_k $ 에 대해 기하학적 및 대수적 조건이 무엇이면 다중 피크를 갖는 해가 존재하는가?

주요 결과

• 해는 $ \tau \to T^- $ 일 때, $ \|w(\cdot,\tau)\|_{L^\infty(\Omega)} = \gamma_0 (T-\tau)^{\frac{n+2}{4}} |\ln(T-\tau)|^{\frac{n+2}{2(n-2)}} (1+o(1)) $ 라는 소멸 속도를 보이며, 로그 보정이 확인된다.
• 소멸 프로파일은 고정된 점 $ q_j \in \Omega $ 에 중심을 둔 $ k $ 개의 국소 피크로 특성화되며, 진폭은 $ \tilde{\mu}_j(\tau) \sim \beta_j \left(\log \frac{T}{T-\tau}\right)^{-1/(n-2)} $ 로 감쇠한다.
• 해가 존재하기 위해, 정규 부분 그린 함수와 상호 그린 함수를 포함하는 행렬 $ \mathcal{G}(q) $ 는 양의 정부호이어야 한다.
• 해는 표준 해 $ U(y) = (1+|y|^2)^{-(n-2)/2} $ 를 기반으로 한 $ k $ 개의 특이 프로파일의 합에 가까운데, 정규 부분 $ H(x,q_j) $ 에 의해 보정된다.
• 외부 오차 항 $ \tilde{\varphi}(x,\tau) \to 0 $ 은 점 $ q_j $ 에서 떨어진 곳에서 균일하게 수렴하여 프로파일이 국소화됨을 보장한다.
• 행렬 $ \mathcal{G}(q) $ 가 양의 정부호일 조건 하에, 가중 함수 공간에서 고정점 정리를 통해 그러한 초기 자료 $ w_0 $ 의 존재가 확립된다.