[논문 리뷰] Extinction time of a CB-processes with competition in a L\'evy random environment

Hélène Leman, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 14.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 Lévy 랜덤 환경에서 경쟁을 고려한 연속 상태 분열 과정의 멸종 시간을 연구한다. 경쟁을 고려한 과정를 스펙트르ально 양성 Lévy 과정에 의해 구동되는 변형된 Feller 확산 과정과 연결하는 Lamperti 유형의 변환을 사용하여, Grey 조건과 환경의 비이동성 조건 하에서 또는 경쟁의 기술적 적분 가능성 조건 하에서 거의 확실한 유한 시간 내 멸종을 증명한다. 또한 Riccati 미분방정식을 통해 명시적인 라플라스 변환과 기댓값을 유도한다.

ABSTRACT

In this paper, we are interested on the extinction time of continuous state branching processes with competition in a L\'evy random environment. In particular we prove, under the so-called Grey's condition together with the assumption that the L\'evy random environment does not drift towards infinity, that for any starting point the process gets extinct in finite time a.s. Moreover if we replace the condition on the L\'evy random environment by a technical integrability condition on the competition mechanism, then the process also gets extinct in finite time a.s. and it comes down from infinity. Then the logistic case in a Brownian random environment is treated. Our arguments are base on a Lamperti-type representation where the driven process turns out to be a perturbed Feller diffusion by an independent spectrally positive L\'evy process. If the independent random perturbation is a subordinator then the process converges to a specified distribution; otherwise, it goes extinct a.s. In the latter case and following a similar approach to Lambert (Ann. Appl. Probab., 15(2):1506-1535, 2005.), we provide the expectation and the Laplace transform of the absorption time, as a functional of the solution to a Riccati differential equation.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 환경 변화에 따라 발생하는 연속 상태 분열 과정의 거의 확실한 유한 시간 내 멸종을 분석하기 위해.
• 해당 과정가 무한대에서 빠르게 수렴하여 멸종하는 데에 기여하는 조건을 규명하기 위해.
• 독립적인 스펙트르ально 양성 Lévy 과정을 편향으로 삼는 Feller 확산 과정에 대한 기존 결과를 확장하기 위해.
• Riccati 미분방정식을 활용하여 흠수 시간의 라플라스 변환과 기댓값에 대한 명시적 표현을 도출하기 위해.
• 일반적 프레임워크의 구체적 응용으로서 브라운 운동 랜덤 환경 내 로지스틱 경우를 분석하기 위해.

제안 방법

• 경쟁을 고려한 CB-과정을 스펙트르ально 양성 Lévy 과정에 의해 구동되는 변형된 Feller 확산 과정으로 변환하는 Lamperti 유형의 표현을 활용하기 위해.
• 구동 Lévy 과정의 성질, 특히 그것이 하위조직인지 여부에 기반하여 변환된 과정의 장기적 행동을 분석하기 위해.
• Lambert(2005)의 영감을 얻은 확률적 비교 방법을 적용하여 흡수 시간의 라플라스 변환과 기댓값을 도출하기 위해.
• 멸종 시간의 라플라스 변환을 특성화하기 위한 기능적 도구로 Riccati 미분방정식을 사용하기 위해.
• 두 가지 다른 조건 하에서 멸종 결과를 확립하기 위해: Grey 조건과 비이동 환경, 그리고 경쟁 메커니즘의 적분 가능성 조건.
• 하위조직으로 유도되는 편향과 비하위조직 케이스를 구분하여, 후자의 경우 거의 확실한 멸종을 초래함을 밝히기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lévy 랜덤 환경에서 경쟁을 고려한 연속 상태 분열 과정이 거의 확실하게 유한 시간 내에 멸종하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 스펙트르ально 양성 Lévy 과정이 무작위 편향으로 존재할 경우, 과정의 멸종 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 과정이 언제 무한대에서 수렴하는가? 이러한 성질을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 멸종 시간의 라플라스 변환과 기댓값을 명시적으로 특성화할 수 있는가? 만약 가능하면 그 방법은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크 하에서 브라운 운동 랜덤 환경 내 로지스틱 CB-과정의 행동은 어떠한가?

주요 결과

• Grey 조건을 만족하고 Lévy 랜덤 환경이 무한대로 이동하지 않는다고 가정할 경우, 초기 인구 크기와 관계없이 과정은 거의 확실하게 유한 시간 내에 멸종한다.
• 경쟁 메커니즘이 기술적 적분 가능성 조건을 만족할 경우, 과정은 여전히 거의 확실하게 유한 시간 내에 멸종하며, 무한대에서 수렴한다.
• 독립적인 편향이 하위조직인 경우 과정은 비퇴화한 극한 분포로 수렴한다; 반면 그렇지 않은 경우 거의 확실하게 멸종한다.
• 흡수 시간의 라플라스 변환과 기댓값은 Riccati 미분방정식의 해에 대한 함수적 표현으로 명시적으로 특성화된다.
• 브라운 운동 랜덤 환경 내 로지스틱 경우는 일반적인 멸종 결과를 확인하는 특수한 사례로 다뤄진다.
• Lamperti 유형의 변환은 경쟁을 고려한 CB-과정의 복잡한 동역학을 Lévy 노이즈가 있는 더 다룰 수 있는 확산 과정으로 성공적으로 축소시켰다.