[논문 리뷰] Extracting higher central charge from a single wave function

Ryohei Kobayashi, Taige Wang외 3명|PubMed|2023. 03. 08.

Physics of Superconductivity and Magnetism참고 문헌 41인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2+1D 보소닉 토폴로지컬 오더의 경계를 가로막는 데 걸리는 고차 중앙 전하를 추출하는 방법을 제안한다. 이는 한 개의 웨이브기능에서 부분 회전 연산자의 기대값을 사용하여 이루어지며, conformal field theory와 ν=1/2 라울린 상태, 키타에브 허니컴 모델에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 검증되었다. 이 방법은 양자계산 가능하게 평가할 수 있으며, c₋를 넘어서 아벨 토폴로지컬 오더의 가로막힘 가능성을 완전히 결정한다.

ABSTRACT

A (2+1)D topologically ordered phase may or may not have a gappable edge, even if its chiral central charge c_{-} is vanishing. Recently, it was discovered that a quantity regarded as a "higher" version of chiral central charge gives a further obstruction beyond c_{-} to gapping out the edge. In this Letter, we show that the higher central charges can be characterized by the expectation value of the partial rotation operator acting on the wave function of the topologically ordered state. This allows us to extract the higher central charge from a single wave function, which can be evaluated on a quantum computer. Our characterization of the higher central charge is analytically derived from the modular properties of edge conformal field theory, as well as the numerical results with the ν=1/2 bosonic Laughlin state and the non-Abelian gapped phase of the Kitaev honeycomb model, which corresponds to U(1)_{2} and Ising topological order, respectively. The Letter establishes a numerical method to obtain a set of obstructions to the gappable edge of (2+1)D bosonic topological order beyond c_{-}, which enables us to completely determine if a (2+1)D bosonic Abelian topological order has a gappable edge or not. We also point out that the expectation values of the partial rotation on a single wave function put a constraint on the low-energy spectrum of the bulk-boundary system of (2+1)D bosonic topological order, reminiscent of the Lieb-Schultz-Mattis-type theorems.

연구 동기 및 목표

• 2+1D 보소닉 토폴로지컬 오더에서 고차 중앙 전하의 미세구조적, 웨이브기능 기반 특성화를 수립하기 위해.
• 이전에는 토폴로지컬 양자장 이론을 통해만 정의되었지만, 토폴로지컬 웨이브기능과 고차 중앙 전하 사이에 직접적인 미세구조적 연결이 부족했던 문제를 해결하기 위해.
• chiral 중앙 전하 c₋가 암시하는 바를 넘어서, 토폴로지컬 오더가 경계를 가로막을 수 있는지 판단하기 위한 수치적으로 실현 가능하고 양자계산 가능한 프로토콜을 제공하기 위해.
• 단일 웨이브기능을 사용하여 아벨 토폴로지컬 오더의 가로막힘 가능성을 완전히 결정하는 일반적인 수치적 방법을 유도하기 위해.

제안 방법

• 논문은 웨이브기능의 부분 집합에 작용하는 부분 회전 연산자의 기대값을 사용하여 고차 중앙 전하 ζₙ을 추출하는 방법을 제안한다.
• 이 방법은 경계 conformal field theory의 모듈러 성질에 기반하며, 주어진 anyon 섹터 a에 대해 관계식 ζₙ = exp(2πi/n × (hₐ − c₋/24 − ηₕL²/(2πℏ)))를 통해 부분 회전 보상의 위상과 고차 중앙 전하를 연결한다.
• 수치적으로는 토폴로지컬 웨이브기능의 행렬 곱 상태(MPS) 표현을 사용하며, 부분 회전은 부분 집합에 대한 유니터리 연산으로 구현된다.
• 운동량 극화 기술을 사용하여 conformal 차원 hₐ와 chiral 중앙 전하 c₋를 추출하고, 이를 부분 회전 위상와 조합하여 ζₙ을 계산한다.
• 유한한 크기 외삽을 수행하여 ℓ_B²/L_y² 비율을 기반으로 ζₙ,a의 열역학적 극한 값들을 추출한다.
• 이 방법은 ν=1/2 보소닉 라울린 상태와 키타에브 허니컴 모델의 비아벨 상태에 대해 테스트되었으며, CFT 예측과 비교되었다.

Figure 1: (a) The setup for which we considered the gappability problem. The obstruction can be captured by $c_{-}$ and higher central charge $\zeta_{n}$ . (b) Schematics of the partial rotation of a cylinder bisected into A and B subsystems.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 c₋를 넘어서 경계의 가로막힘을 방해하는 고차 중앙 전하가 단일 미세구조적 웨이브기능에서 추출될 수 있는가?
• RQ2 고차 중앙 전하에 대한 직접적인 운영 정의가 양자계산과 호환되는 웨이브기능 기대값의 형태로 존재하는가?
• RQ3 부분 회전 연산자의 기대값이 다양한 anyon 섹터와 시스템 크기에서 ζₙ을 신뢰성 있게 추출할 수 있는가?
• RQ4 이 방법이 아벨 토폴로지컬 오더의 가로막힘 가능성을 c₋만으로 가능한 것보다 완전히 결정할 수 있는가?
• RQ5 운동량 극화와 비교해 볼 때, 고차 중앙 전하를 신뢰성 있게 추출하기 위한 수치적 스케일링 요구사항과 정밀도 제약은 무엇인가?

주요 결과

• 단일 웨이브기능에 대한 부분 회전 연산자의 기대값은 고차 중앙 전하 ζₙ을 제공하며, 이 기대값의 위상은 conformal field theory에 의해 ζₙ과 직접적으로 연결된다.
• ν=1/2 보소닉 라울린 상태의 경우, c₋ = 1과 hₛ = 1/4를 정확히 추출하였으며, 토폴로지컬 이동량 𝒮 = 1.998로, CFT 예측값 𝒮 = 2와 뛰어난 일치를 보였다.
• 비틀린 고차 중앙 전하 ζₙ,ₐ는 시스템 크기 L_y가 증가함에 따라 기대되는 값(예: U(1)₂×U(1)₋₄에 대해 ζ₃ = −1)로 수렴함을 확인하여, 이 방법의 정확도를 입증하였다.
• pₐ에서 L_y에 대해 오차가 제곱적으로 증가하는 것과는 달리, ζₙ,a에서는 오차가 제곱적으로 증가하지 않기 때문에, 이 프로토콜은 운동량 극화보다 훨씬 낮은 bond 차원 χ와 온사이트 보소닉 커팅 N_Boson을 요구한다.
• n ≥ 5인 ζₙ,a를 신뢰성 있게 추출하기 위해서는 L_y ≥ 64ℓ_B의 시스템 크기가 필요하며, 이는 L_y > n²ξ_r를 의미한다. 여기서 ξ_r ≈ √(2/3)πℓ_B는 라울린 상태에 대해 성립한다.
• c₋와 함께 ζₙ,a를 조합함으로써, gcd(n, N_FS/gcd(n,N_FS)) = 1일 때 충분한 조건이 존재하므로, 아벨 토폴로지컬 오더의 가로막힘 가능성을 완전히 결정할 수 있다.

Figure 2: (a) Geometry of the Kitaev model on a cylinder. Red, blue and yellow lines correspond to $X$ , $Y$ and $Z$ type Ising interactions, respectively. The lattice is periodic in the $y$ direction, and has the zigzag boundary condition in the $x$ direction. (b) The partial rotations $\mathcal{T}