[논문 리뷰] Extrapolation of compactness on weighted spaces II: Off-diagonal and limited range estimates

Tuomas Hytönen, Stefanos Lappas|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 29.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 33인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 히요넨(2020)의 이전 결과를 일반화하여 가중 Lebesgue 공간 위의 선형 연산자의 컴팩턴스의 외삽을 비대칭 및 범위 제한 설정으로 확장한다. 보간 이론을 적응시키고 선형 연산자에 대한 컴팩턴스 기준을 활용함으로써, 한 개의 가중 공간에서의 컴팩턴스가 전체 가중 $L^p$ 공간 범위에서 성립함을 입증하며, 분수 적분의 교환자 및 편미분 연산자에 대한 결과를 복원하고 확장한다. 또한 보처–리츠 승수 역시 포함된다.

ABSTRACT

In a previous paper by one of us, a "compact version" of Rubio de Francia's weighted extrapolation theorem was proved, which allows one to extrapolate the compactness of an operator from just one space to the full range of weighted spaces, where this operator is bounded. In this paper, we obtain generalizations of this extrapolation of compactness for operators that are bounded from one space to a different one ("off-diagonal estimates") or only in a limited range of the $L^p$ scale. As applications, we easily recover recent results on the weighted compactness of commutators of fractional integrals and pseudo-differential operators, and obtain new results about the weighted compactness of Bochner--Riesz multipliers.

연구 동기 및 목표

• 단일 가중치에서의 컴팩턴스 외삽을 비대칭 및 범위 제한 연산 설정으로 일반화하기 위해.
• 다른 Lebesgue 공간 간에 유계인 연산자, 즉 $L^p(w^p)$ 에서 $L^q(w^q)$ 로 사상하는 $p \neq q$ 인 연산자로 컴팩턴스 외삽 원리를 확장하기 위해.
• 교환자 및 보처–리츠 승수와 같은 연산자의 가중 컴팩턴스를 증명하기 위한 통합 프레임워크를 제공하기 위해.
• 보간 기반 방법을 사용하여 최근에 발표된 편미분 연산자 및 분수 적분의 교환자의 가중 컴팩턴스 결과를 복원하고 강화하기 위해.

제안 방법

• 루비오 데 프란시아의 외삽 프레임워크를 컴팩턴스에 적용하기 위해 가중 노름 부등식과 보간 이론을 결합한다.
• Cwikel–Kalton의 추상 컴팩턴스 외삽 정리를 실 보간을 통해 $L^p(w^p)$ 공간의 가중 Lebesgue 공간에 적용한다.
• 모든 컴팩턴스가 유지되는 가중치의 전체 범위를 특징짓기 위해 가중 역 헬더 및 $A_{p,q}$ 클래스를 사용한다.
• 전역 가중치를 외삽 과정에서 처리하기 위해 $\varphi(t) = 1 + t$ 인 가중 $A_p^\zeta(\varphi)$ 클래스를 사용한다.
• 캘러드론–지그문드 연산자 및 그들의 교환자에 대해 외삽 결과를 적용하기 위해 기호에 대한 $CMO$ 조건을 적용한다.
• 모든 $p \in (1,\infty)$ 및 $w \in A_p^\zeta(\varphi)$ 에 대해 $L^p(w)$ 에서의 유계성과 함께, 무게가 없는 $L^{p_1}$ 공간에서의 컴팩턴스가 모든 가중 $L^p(w)$ 공간에서의 컴팩턴스를 유도한다는 사실에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한 개의 가중 $L^p$ 공간에서 연산자의 컴팩턴스가 $p \in (1,\infty)$ 및 $w \in A_p^\zeta(\varphi)$ 에 대해 모든 $L^p(w)$ 공간으로 외삽 가능한가?
• RQ2 컴팩턴스 외삽이 다른 Lebesgue 공간 간에 유계인 연산자, 즉 $p \neq q$ 인 $L^p(w^p)$ 에서 $L^q(w^q)$ 로 사상하는 연산자로 확장되는가?
• RQ3 범위 제한 유계성인 연산자, 즉 $(1,\infty)$ 의 부분구간에서 $p$ 에 대해만 $L^p(w)$ 에서 유계이면, 컴팩턴스 외삽 원리가 적용 가능한가?
• RQ4 이 프레임워크는 최근에 발표된 편미분 연산자 및 보처–리츠 승수의 교환자의 가중 컴팩턴스 결과를 복원하고 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 선형 연산자 $T$ 가 어떤 $w_1 \in A_{p_1,q_1}(\mathbb{R}^d)$ 에 대해 $L^{p_1}(w_1^{p_1})$ 에서 $L^{q_1}(w_1^{q_1})$ 로 컴팩트이면, $\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = \frac{1}{p_1} - \frac{1}{q_1}$ 를 만족하는 모든 $p,q$ 와 모든 $w \in A_{p,q}(\mathbb{R}^d)$ 에 대해 $T$ 가 $L^p(w^p)$ 에서 $L^q(w^q)$ 로 컴팩트임을 입증한다.
• 일부 $p$ 에 대해 $L^p(w)$ 공간의 제한된 범위에서 유계인 연산자에 대해, $w_1 \in A_{p_1/p_-} \cap RH_{(p_+/p_1)'}$ 이면 $L^{p_1}(w_1)$ 에서의 컴팩턴스는 $p \in (p_-, p_+)$ 와 $w \in A_{p/p_-} \cap RH_{(p_+/p)'}$ 에 대해 $L^p(w)$ 에서의 컴팩턴스를 유도한다.
• 이 방법은 최근에 입증된 결과를 복원한다. 즉, $b \in CMO(\mathbb{R}^d)$ 이고 $T \in L_{1,0}^0$ 이면, 모든 $p \in (1,\infty)$ 및 $w \in A_p^\zeta(\varphi)$ 에 대해 교환자 $[b,T]$ 가 $L^p(w)$ 에서 컴팩트이며, 프레셰–콜모고로프 기준을 직접 검증할 필요 없이 성립한다.
• 이 프레임워크는 보처–리츠 승수에 적용 가능하며, $p \in (1,\infty)$ 와 $A_p^\zeta(\varphi)$ 가중치의 전체 범위에서 그들의 가중 컴팩턴스에 대해 새로운 결과를 도출한다.
• 실 보간과 Cwikel–Kalton의 추상 컴팩턴스 기준을 통해 컴팩턴스 외삽이 달성되며, 이는 끝점 공간에서의 컴팩턴스가 보간된 공간에서의 컴팩턴스를 보장한다.
• 결과는 날카롭다는 의미에서, 유계성에 대해 알려진 전체 가중치 및 지수의 범위를 커버하며, 스케일 전반에 걸쳐 컴팩턴스가 균일하게 유지됨을 의미한다.