[논문 리뷰] Extremal eigenvalues of critical Erd\H{o}s-R\'enyi graphs

Johannes Alt, Raphaël Ducatez외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 08.

Random Matrices and Applications참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임계 에르되시-레니 그래프에서 $d \asymp \log N$ 일 때, 차수 $2d$ 이상인 정점과 정규화된 인접행렬 $A/\sqrt{d}$의 비자명한 고유값 사이의 일대일 대응을 확립한다. 이는 반원형 분포의 밀도 영역 $[-2,2]$ 외부에 위치한 고유값에 대해 이루어지며, 임계 임계점 $d_* = \frac{1}{\log 4 - 1}\log N \approx 2.59\log N$ 에서 극값 고유값이 나타나는 것을 규명한다. 이에 따라 $d < d_*$ 에서는 고도확률적 강성 경계를 얻고, $d > d_*$ 일 때는 그러한 고유값이 존재하지 않음을 증명한다.

ABSTRACT

We complete the analysis of the extremal eigenvalues of the the adjacency matrix $A$ of the Erd\\H{o}s-R\\'enyi graph $G(N,d/N)$ in the critical regime $d \\asymp \\log N$ of the transition uncovered in [arXiv:1704.02953,arXiv:1704.02945], where the regimes $d \\gg \\log N$ and $d \\ll \\log N$ were studied. We establish a one-to-one correspondence between vertices of degree at least $2d$ and nontrivial (excluding the trivial top eigenvalue) eigenvalues of $A / \\sqrt{d}$ outside of the asymptotic bulk $[-2,2]$. This correspondence implies that the transition characterized by the appearance of the eigenvalues outside of the asymptotic bulk takes place at the critical value $d = d_* = \\frac{1}{\\log 4 - 1} \\log N$. For $d &lt; d_*$ we obtain rigidity bounds on the locations of all eigenvalues outside the interval $[-2,2]$, and for $d &gt; d_*$ we show that no such eigenvalues exist. All of our estimates are quantitative with polynomial error probabilities. Our proof is based on a tridiagonal representation of the adjacency matrix and on a detailed analysis of the geometry of the neighbourhood of the large degree vertices. An important ingredient in our estimates is a matrix inequality obtained via the associated nonbacktracking matrix and an Ihara-Bass formula [arXiv:1704.02945]. Our argument also applies to sparse Wigner matrices, defined as the Hadamard product of $A$ and a Wigner matrix, in which case the role of the degrees is replaced by the squares of the $\\ell^2$-norms of the rows.

연구 동기 및 목표

• 에르되시-레니 그래프 $G(N,d/N)$ 의 인접행렬 $A$ 의 극값 고유값을 임계 영역 $d \asymp \log N$ 에서 완전히 특성화하는 것. 이 영역에서는 밀도 영역과 외부 고유값 간의 전이가 발생한다.
• 정규화된 고유값 $A/\sqrt{d}$ 가 반원형 밀도 영역 $[-2,2]$ 외부에 위치한 비자명한 고유값과, 차수 $D_x \geq 2d$ 인 정점 사이의 정확한 일대일 대응을 수립하는 것.
• $d < d_*$ 에서 $[-2,2]$ 외부의 고유값 위치에 대해 정량적 고도확률 강성 경계를 유도하고, $d > d_*$ 일 때는 그러한 고유값이 존재하지 않음을 증명하는 것.
• 정점의 차수를 행의 $\ell^2$-노름으로 대체한 희박한 위그너 행렬로 분석을 확장하기 위해 삼중대각 표현과 비후퇴 행렬 기법을 활용하는 것.

제안 방법

• 고차수 정점 근처의 스펙트럼 성질을 분석하기 위해 인접행렬 $A$ 의 삼중대각 표현을 구성한다.
• 고차수 정점의 이웃 구조를 세밀하게 분석하여 그 구조가 극값 고유값의 발생과 어떻게 연결되는지 규명한다.
• 비후퇴 행렬과 이하-바스 공식에서 유도된 행렬 부등식을 사용하여 스펙트럼 노름과 고유값 위치를 제어한다.
• 고유값 분포를 도수 분포의 포isson 근사와 연결하며, $\mathbb{P}(D_x = k) \approx \exp(-f_d(k/d))$ 를 사용한다.
• 정점의 수 $\geq t$ 를 추정하기 위해 카운팅 함수 $\mathcal{N}_t = \sum_x \mathbf{1}_{D_x \geq t}$ 를 사용하여 일차 및 이차 모멘트 방법을 적용한다.
• 도수 꼬리 확률을 모델링하기 위해 함수 $f_d(\alpha) = \alpha \log \alpha - \alpha + 1$ 를 사용하며, 이 함수의 역함수를 이용해 $l$-번째로 큰 정규화된 차수의 일반적인 값인 $\beta_l(d)$ 를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 영역 $d \asymp \log N$ 에서 정규화된 인접행렬 $A/\sqrt{d}$ 의 극값 고유값이 반원형 밀도 영역 $[-2,2]$ 외부에 나타나기 시작하는 정확한 임계점 $d_*$ 는 무엇인가?
• RQ2 반원형 밀도 영역 $[-2,2]$ 외부의 고유값 위치는 그래프 내 개별 정점의 차수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $d < d_*$ 일 때, $[-2,2]$ 외부의 고유값 위치에 대해 정량적 고도확률 경계를 어떻게 설정할 수 있는가?
• RQ4 극값 고유값 행동의 전이가 연결성 임계점 $d = \log N$ 과 일치하는가, 아니면 다른 임계값에서 발생하는가?
• RQ5 이 방법은 정점의 차수 대신 행의 $\ell^2$-노름을 사용하는 희박한 위그너 행렬로 확장 가능한가?

주요 결과

• 반원형 밀도 영역 $[-2,2]$ 외부에 극값 고유값이 나타나기 시작하는 임계점은 $d_* = \frac{1}{\log 4 - 1}\log N \approx 2.59\log N$ 로, 연결성 임계점 $d = \log N$ 과 다름을 규명하였다.
• $d < d_*$ 일 때, 차수 $D_x \geq 2d$ 인 정점과 $A/\sqrt{d}$ 의 반원형 밀도 영역 외부에 위치한 비자명한 고유값 사이에 일대일 대응이 존재하며, 고유값은 $\pm \Lambda(D_x/d)$ 근처에 위치한다. 여기서 $\Lambda(t) = \frac{t}{\sqrt{t-1}}$ 이다.
• $d < d_*$ 일 때, $l$-번째로 큰 정규화된 차수 $\alpha_{\sigma(l)}$ 는 고도확률적으로 $|\alpha_{\sigma(l)} - \beta_l(d)| \leq \frac{1 \vee (\xi / \log \beta_l(d))}{d}$ 를 만족하며, $\beta_l(d)$ 는 $f_d(\beta) = \log(N/l)$ 을 만족하는 해이다.
• $d > d_*$ 일 때, 가장 큰 정규화된 차수는 고도확률적으로 $\alpha_{\sigma(1)} \leq 2 + \frac{\xi}{d}$ 를 만족하며, 이는 $[-2,2]$ 외부에 고유값이 존재하지 않음을 의미한다.
• 이 방법은 행의 $\ell^2$-노름이 정점의 차수 역할을 하는 희박한 위그너 행렬 $X = W \circ A$ 에도 적용 가능하며, 동일한 임계점 $d_*$ 가 전이를 지배한다.
• 분석은 다항식 형태의 오차 확률을 제공하며, 모든 경계는 임의의 고정된 $\nu > 0$ 에 대해 확률 $1 - N^{-\nu}$ 이상에서 성립한다.