[논문 리뷰] Extremal functions for singular Trudinger-Moser inequalities in the entire Euclidean space

LI Xiao-meng, Yunyan Yang|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 25.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 0 < β < 1 인 조건 하에 전체 유클리드 공간 ℝ^N (N ≥ 2) 에서 하드리 타입의 가중치 |x|^{−Nβ} 와 임계 지수를 가진 특이 트루딩어-모저 부등식에 대해 극값 함수의 존재성을 확립한다. 블로우업 분석과 변분 방법을 사용하여, 초임계 및 임계 경우에서 부등식의 상한이 W^{1,N}(ℝ^N) 내의 음이 아닌, 중심대칭이며 C¹ 인 함수에 의해 도달됨을 증명함으로써, 특이 설정에서 오랫동안 남아있던 존재 질문을 해결한다.

ABSTRACT

In a previous work (Int. Math. Res. Notices 13 (2010) 2394-2426), Adimurthi-Yang proved a singular Trudinger-Moser inequality in the entire Euclidean space $\mathbb{R}^N$ $(N\geq 2)$. Precisely, if $0\leq β&lt;1$ and $00$, $$\sup_{u\in W^{1,N}(\mathbb{R}^N),\,\int_{\mathbb{R}^N}(| abla u|^N+τ|u|^N)dx\leq 1}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{1}{|x|^{Nβ}}\left(e^{α_Nγ|u|^{\frac{N}{N-1}}}-\sum_{k=0}^{N-2}\frac{α_N^kγ^k|u|^{\frac{kN}{N-1}}} {k!} ight)dx1-β$, all integrals are still finite but the supremum is infinity. In this paper, we concern extremal functions for these singular inequalities. The regular case $β=0$ has been considered by Li-Ruf (Indiana Univ. Math. J. 57 (2008) 451-480) and Ishiwata (Math. Ann. 351 (2011) 781-804). We shall investigate the singular case $00$, $0

연구 동기 및 목표

• 원점에서 하드리 타입의 특이성을 가진 전체 유클리드 공간 ℝ^N 에서 특이 트루딩어-모저 부등식에 대한 극값 함수의 존재를 확립하는 것.
• 이전에 β = 0 (정규 케이스) 에서 확립된 극값 함수 결과를 0 < β < 1 인 특이 케이스로 확장하는 것.
• 0 < β < 1 이고 γ ≤ 1 − β 인 특이 트루딩어-모저 부등식에서 최적 상한이 도달되는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하는 것.
• 전체 공간에서 특이 트루딩어-모저 부등식의 초임계 및 임계 경우에 대한 완전한 존재 이론을 제공하는 것.
• 특이성과 ℝ^N 의 비콤팩트성으로 인한 콤팩트성의 결여를 다루기 위해 정교화된 블로우업 분석을 개발하고 적용하는 것.

제안 방법

• 최대화 수열의 집중-콤팩트성 행동을 연구하기 위해 블로우업 분 析를 적용한다.
• 원점에 중심을 둔 로그 및 거듭제곱형 특이성을 포함하는 블로우업 프로파일을 가진 시험 함수 φ_ε 를 구성하여 부등식의 최적성을 시험한다.
• 변수 교체와 부분적 적분을 사용하여, 특히 원점 근처에서 링형 영역에서 지수 항의 가중치 적분을 추정한다.
• 부등식의 초임계 잘라내기 처리를 위해 지수 함수의 테일러 전개 ζ(N,s) = e^s − ∑_{k=0}^{N−2} s^k/k! 를 적용한다.
• 시험 수열의 L^N 노름과 기울기 노름에 대한 균일한 경계를 확립하여 W^{1,N}(ℝ^N) 노름 내의 유계성을 보장한다.
• 집중 매개변수 c_ε → ∞ 인 가정 하에 블로우업 분석을 통해 모순을 도출함으로써 c_ε 가 유계이어야 한다는 것을 증명하고, 이는 최대화자 존재를 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℝ^N 에서 |x|^{−Nβ} (0 < β < 1) 가중치를 가진 특이 트루딩어-모저 부등식의 상한이 최대화자를 도달하는가?
• RQ2 특이 트루딩어-모저 부등식에서 임계 케이스 γ = 1 − β 에 대해 극값 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 |x|^{−Nβ} 특이성이 최대화 수열의 집중-콤팩트성 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 정규 케이스 (β = 0) 에서의 블로우업 분석 기법이 특이 케이스 (0 < β < 1) 로 확장되어 극값 함수의 존재를 증명하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 극값 수열의 정확한 점근적 행동은 무엇이며, 이는 최적 상수 α_N(1−β) 와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 모든 τ > 0, 0 < β < 1, 그리고 0 < γ ≤ 1 − β 에 대해, W^{1,N}(ℝ^N) 내에서 특이 트루딩어-모저 부등식에 대해 극값 함수가 존재한다.
• 초임계 케이스 (γ = 1 − β − ε, 작은 ε > 0) 에서 상한은 음이 아닌, 중심대칭이며 C¹ 인 함수에 의해 도달되며, 이는 W^{1,N}(ℝ^N) ∩ C⁰(ℝ^N) 에 속한다.
• 임계 케이스 (γ = 1 − β) 에서도 상한은 도달되며, 집중 매개변수의 발산을 가정할 경우 블로우업 분석에서 모순을 통해 극값 함수의 존재가 입증된다.
• 저자들은 블로우업 수열의 집중 매개변수 c_ε 가 유계이어야 한다고 증명함으로써, 무한한 집중이 제거되고 콤팩트성이 확보되어 최대화자 존재를 보장한다.
• 지수 항의 적분에 대한 점근적 하한 경계가 ∼ (ω_{N−1}/(N(1−β))) e^{∑_{k=1}^{N−1} 1/k + α_N(1−β)A_0} 로 나타나며, 이는 ε 에 따라 변하지 않는 양의 값이다.
• 증명은 임계 상한이 유한하고 도달됨을 보여주며, 이는 특이 설정에서 부등식의 최적성과 이전 결과(β = 0)를 0 < β < 1 으로 확장함을 확인한다.