[논문 리뷰] Extremal problems on ordered and convex geometric hypergraphs

Zoltán Füredi, Tao Jiang외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 13.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 순서화되고 볼록 기하학적 $r$-균일 초그래프에 대한 극한 경계를 확립하며, 코드도 밀도에 따라 극한 행동의 단계 전이를 드러내는 분할 정리(스플리팅 정리)를 도입한다. 주요 결과는 두 개의 번갈아가는 간선으로 구성된 특정 순서화 $r$-그래프 $F$에 대한 정확한 극한 함수 ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F) = inom{n}{r} - inom{n-r}{r}$이며, 이는 에르되시–코–라도 정리의 순서화된 유사체로 기능한다.

ABSTRACT

An ordered hypergraph is a hypergraph whose vertex set is linearly ordered, and a convex geometric hypergraph is a hypergraph whose vertex set is cyclically ordered. Extremal problems for ordered and convex geometric graphs have a rich history with applications to a variety of problems in combinatorial geometry. In this paper, we consider analogous extremal problems for uniform hypergraphs, and discover a general partitioning phenomenon which allows us to determine the order of magnitude of the extremal function for various ordered and convex geometric hypergraphs. A special case is the ordered $n$-vertex $r$-graph $F$ consisting of two disjoint sets $e$ and $f$ whose vertices alternate in the ordering. We show that for all $n \geq 2r + 1$, the maximum number of edges in an ordered $n$-vertex $r$-graph not containing $F$ is exactly \[ {n \choose r} - {n - r \choose r}.\] This could be considered as an ordered version of the Erdős-Ko-Rado Theorem, and generalizes earlier results of Capoyleas and Pach and Aronov-Dujmovič-Morin-Ooms-da Silveira.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 및 조합적 응용에 기반하여 극한 그래프 이론을 순서화되고 볼록 기하학적 $r$-균일 초그래프로 확장하기.
• 특정 번갈아가는 간선을 가진 $r$-그래프에 대해 순서화된 에르되시–코–라도 정리의 해법을 구하기.
• 순서화된 초그래프의 극한 함수와 구간 색칠 수가 유계인 경우의 극한 함수를 연결하는 일반적인 분할 원칙(스플리팅 정리)을 수립하기.
• 특히 경로와 매칭에 대해 선형 순서화 초그래프와 순환 순서화 초그래프 간의 극한 행동의 차이를 조사하기.
• 순서화되고 볼록 기하학적 환경에서 산림에 대해 선형 또는 거의 선형 극한 함수가 되는지에 대한 열린 추측을 다루기.

제안 방법

• 구조화된 극한 구성 요건을 모델링하기 위해, 간선이 한 구간에 두 정점, 나머지 $r-1$개의 다른 구간에 각각 한 정점씩 포함하는 스플리트 초그래프의 개념을 도입한다.
• 금지 초그래프 $F$의 코드도 밀도 $c$에 따라 달라지는 바탕으로, ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F)$가 $O(z_{ ightarrow}(n,F) ext{ polylog }n)$ 또는 $O(z_{ ightarrow}(n,F))$로 유계임을 보여주는 스플리팅 정리를 증명한다.
• 경로와 매칭의 극한 함수에 대한 하한을 확립하기 위해, 순서화된 설정과 볼록 기하학적 설정에서 모두 $G(n,r,r+2)$의 극한 가족을 구성한다.
• 특히 볼록 기하학적 설정에서 교차 경로를 피하기 위해 재귀적 정점 선택 논증을 사용한다.
• 볼록 기하학적 매칭에 관한 기존 결과(Capoyleas–Pach)를 활용하여 $CM_k^r$에 대한 정확한 경계를 유도하며, ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,CM_k^r) = { m{ex}}_{igcirclearrowright}(n,CM_k^r)$ 및 $ heta(n^{r-1})$ 성장률을 보인다.
• 균일 초그래프로 일반화된 단위 거리와 교차 매칭에 관한 결과를 도출하기 위해, 순서화되고 볼록 기하학적 그래프 이론의 극한 기법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 순서에서 번갈아가는 정점들을 가진 두 개의 분리된 간선으로 구성된 순서화된 $r$-그래프에 대해 정확한 극한 함수는 무엇인가?
• RQ2 금지 초그래프의 코드도 밀도에 따라 순서화된 초그래프의 극한 함수는 어떻게 달라지는가?
• RQ3 순서화된 에르되시–코–라도 정리는 번갈아가는 간선 구조를 가진 $r$-균일 초그래프로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 볼록 기하학적 설정에서 $r$-균일 교차 $k$-경로 $CP_k^r$의 극한 행동은 순서화된 설정과 어떻게 다른가?
• RQ5 어떤 $r$-균일 산림의 클래스에 대해 극한 함수 ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F)$가 $O(n^{r-1} ext{ polylog }n)$로 유계가 되는가?

주요 결과

• 모든 $n \neq 2r+1$에 대해, 두 번갈아가는 간선으로 구성된 순서화된 $r$-그래프 $F$에 대한 극한 함수는 정확히 ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F) = \binom{n}{r} - \binom{n-r}{r}$이며, 이는 에르되시–코–라도 정리의 정확한 순서화된 유사체를 제공한다.
• 스플리팅 정리는 금지 초그래프 $F$의 코드도 밀도 $c = r-1$이면 ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F) = O(z_{ ightarrow}(n,F) ext{ polylog }n)$로, $c > r-1$이면 $O(z_{ ightarrow}(n,F))$로 유계임을 보여준다.
• $r$-균일 교차 $k$-경로 $CP_k^r$에 대해, 순서화된 설정에서의 극한 함수는 $k \neq r+1$이면 ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,CP_k^r) = \binom{n}{r} - \binom{n-r}{r}$이며, $c(r+1,r) = r$이다.
• 볼록 기하학적 설정에서 $r$-균일 교차 $k$-매칭 $CM_k^r$에 대한 극한 함수는 ${ m{ex}}_{\bigcirclearrowright}(n,CM_k^r) = \theta(n^{r-1})$를 만족하며, 로그 인자 없이 성장한다.
• 볼록 기하학적 설정에서 $CP_{2r}^r$의 극한 함수는 $O(n^{r-1})$로 상한이 주어지며, 정점 순서의 구조적 제약으로 인해 $G(n,r,r+2)$ 구성은 이러한 경로를 피한다.
• $CM_k^r$의 극한 함수는 순서화된 설정과 볼록 기하학적 설정 모두에서 동일하다: ${ m{ex}}_{\rightarrow}(n,CM_k^r) = { m{ex}}_{\bigcirclearrowright}(n,CM_k^r)$이며, 이 함수는 $\theta(n^{r-1})$이다.