[논문 리뷰] Extreme Eigenvalues of Large Dimensional Quaternion Sample Covariance Matrix

Huiqin Li, Zhidong Bai|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 17.

Random Matrices and Applications참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 큰 차원의 허수표본공분산행렬의 극단적 고유값의 거의확실한 극한을 규명한다. 평균이 0, 분산이 1, 네 번째 모멘트가 유한한 i.i.d. 허수 성분을 가진 경우, 가장 큰 고유값은 거의확실하게 $(1 + \tilde{y})^2$로 수렴하고 가장 작은 고유값은 $(1 - \tilde{y})^2$로 수렴한다. 여기서 $\tilde{y} = \tilde{p}/n$이며, 이는 고전적인 Marčenko-Pastur 법칙을 허수 설정으로 확장한 것으로, 날카선 모멘트 조건을 포함한다.

ABSTRACT

In this paper, we shall investigate the almost sure limits of the largest and smallest eigenvalues of a quaternion sample covariance matrix. Suppose that $\mathbf X_n$ is a $p imes n$ matrix whose elements are independent quaternion variables with mean zero, variance 1 and uniformly bounded fourth moments. Denote $\mathbf S_n=\frac{1}{n}\mathbf X_n\mathbf X_n^*$. In this paper, we shall show that $s_{\max}\left(\mathbf S_n ight)=s_{p}\left(\mathbf S_n ight) o\left(1+\sqrt y ight)^2, a.s.$ and $s_{\min}\left(\mathbf S_n ight) o\left(1-\sqrt y ight)^2,a.s.$ as $n o\infty$, where $y=\lim p/n$, $s_1\left(\mathbf S_n ight)\le\cdots\le s_{p}\left(\mathbf S_n ight)$ are the eigenvalues of $\mathbf{S}_n$, $s_{\min}\left(\mathbf S_n ight)=s_{p-n+1}\left(\mathbf S_n ight)$ when $p>n$ and $s_{\min}\left(\mathbf S_n ight)=s_1\left(\mathbf S_n ight)$ when $p\le n$. We also prove that the set of conditions are necessary for $s_{\max}\left(\mathbf S_n ight) o\left(1+\sqrt y ight)^2, a.s.$ when the entries of $\mathbf {X}_n$ are i. i. d.

연구 동기 및 목표

• 큰 차원의 허수 표본공분산행렬의 가장 큰 고유값과 가장 작은 고유값의 거의확실한 극한을 규명하는 것.
• 극단적 고유값의 거의확실한 수렴을 위한 필요 및 충분한 모멘트 조건을 설정하는 것.
• 이전에 실수 및 복소수 경우에 알려진 고전적인 랜덤 행렬 이론 결과를 허수 대수 설정으로 확장하는 것.
• 허수 경우에서 가장 큰 고유값의 거의확실한 수렴을 위해 네 번째 모멘트가 필요하고 충분함을 증명하는 것.
• 허수 성분에 대해 i.i.d.이지만 평균이 0, 분산이 유한하고 네 번째 모멘트가 균일하게 유계이도록 조건을 설정했을 때의 극한 스펙트럼 행동을 분석하는 것.

제안 방법

• 허수 표본공분산행렬을 $\mathbf{S}_n = \frac{1}{n}\mathbf{X}_n\mathbf{X}_n^*$로 정의한다. 여기서 $\mathbf{X}_n$은 평균이 0, 분산이 1, 네 번째 모멘트가 균일하게 유계인 i.i.d. 허수 성분을 가진다.
• 스펙트럼 노름과 특이값 분해를 사용하여 $\mathbf{S}_n$이 기대값 $\sigma^2(1 + y)\mathbf{I}_p^Q$에서 벗어나는 정도를 분석한다.
• 행렬 편향 분석을 적용하여 $\|\mathbf{S}_n - \sigma^2(1 + y)\mathbf{I}_p^Q\|_2$를 허수 성분의 정규화된 이차형식의 최댓값을 사용해 유계화한다.
• 이중 배열의 i.i.d. 랜덤 변수에 대한 보조정리 7.1(강한 법칙)을 활용하여 정규화된 허수 노름 제곱합의 수렴을 제어한다.
• 최소-최대 원리와 고유값의 교차 성질을 이용하여 기대값 행렬과의 비교를 통해 극단적 고유값에 대한 거의확실한 경계를 유도한다.
• 모멘트 조건의 필요성을 모순을 통해 증명한다: $\mathbb{E}\|z_{11}\|^4 = \infty$이면 가장 큰 고유값은 거의확실하게 발산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 차원의 허수 표본공분산행렬의 가장 큰 고유값과 가장 작은 고유값의 거의확실한 극한은 무엇인가?
• RQ2 허수 경우에서 극단적 고유값의 거의확실한 수렴을 위해 네 번째 모멘트가 필요한가?
• RQ3 실수 및 복소수 경우와 동일한 모멘트 조건 하에서, 극단적 고유값에 대한 Marčenko-Pastur 법칙은 허수 설정으로 확장되는가?
• RQ4 표본 수 $n$과 차원 $p$가 $y = \lim p/n$으로 함께 증가할 때 극단적 고유값은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 극단적 고유값이 Marčenko-Pastur 경계로 거의확실하게 수렴하기 위해 필요한 및 충분한 허수 성분의 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $n \to \infty$일 때 가장 큰 고유값 $s_p(\mathbf{S}_n)$은 $(1 + \sqrt{y})^2$로 거의확실하게 수렴한다. 여기서 $y = \lim p/n$이다.
• 동일한 渐近적 제약 조건 하에서 가장 작은 고유값 $s_{\min}(\mathbf{S}_n)$은 $(1 - \sqrt{y})^2$로 거의확실하게 수렴한다.
• 네 번째 모멘트 $\mathbb{E}\|z_{11}\|^4 < \infty$는 가장 큰 고유값의 거의확실한 수렴을 위해 필요하고 충분하다.
• 허수 성분의 평균이 0이 아닐 경우 ($\mathbb{E}[z_{11}] \neq 0$), 스펙트럼 노름은 거의확실하게 발산하여 수렴이 성립하지 않는다.
• 수렴 결과는 허수 성분이 평균이 0, 단위 분산, 그리고 네 번째 모멘트가 균일하게 유계임을 전제로 성립한다.
• 증명 과정을 통해 허수 표본공분산행렬의 극한 스펙트럼 분포가 Marčenko-Pastur 법칙을 따르며, 극단적 고유값이 거의확실한 극한 $(1 \pm \sqrt{y})^2$로 제한됨을 밝혔다.