[논문 리뷰] Extreme value copula estimation based on block maxima of a multivariate stationary time series

Axel Bücher, Johan Segers|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 13.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 34인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 다변량 정상 시간열에서의 블록 최댓값을 사용하여 극단가치 코풀라의 비모수적 추정 방법을 제안한다. 약한 의존 조건(절대 정규 혼합 조건) 하에서, 블록 최댓값의 경험적 코풀라는 진정한 한계 극단가치 코풀라로 수렴하며, 이는 일致성과 점근 정규성을 가진다. 이 틀은 비모수적 가정 없이 피카운즈 의존도 함수의 순위 기반 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The core of the classical block maxima method consists of fitting an extreme value distribution to a sample of maxima over blocks extracted from an underlying series. In asymptotic theory, it is usually postulated that the block maxima are an independent random sample of an extreme value distribution. In practice however, block sizes are finite, so that the extreme value postulate will only hold approximately. A more accurate asymptotic framework is that of a triangular array of block maxima, the block size depending on the size of the underlying sample in such a way that both the block size and the number of blocks within that sample tend to infinity. The copula of the vector of componentwise maxima in a block is assumed to converge to a limit, which, under mild conditions, is then necessarily an extreme value copula. Under this setting and for absolutely regular stationary sequences, the empirical copula of the sample of vectors of block maxima is shown to be a consistent and asymptotically normal estimator for the limiting extreme value copula. Moreover, the empirical copula serves as a basis for rank-based, nonparametric estimation of the Pickands dependence function of the extreme value copula. The results are illustrated by theoretical examples and a Monte Carlo simulation study.

연구 동기 및 목표

• 약한 의존 조건 하에서 다변량 블록 최댓값의 한계 극단가치 코풀라에 대한 일致성 있고 점근 정규적인 추정기법을 개발하기 위해.
• 클래식 이론에서와 같이 블록 최댓값이 독립이 아닐 경우에도 경험적 코풀라가 유효함을 입증하기 위해.
• 경험적 코풀라 과정을 기반으로 피카운즈 의존도 함수의 비모수적 추정을 가능하게 하기 위해.
• 일반적인 정상적이고 약한 의존성을 가진 다변량 시간열로 일반화된 블록 최댓값 방법을 확장하기 위해.
• 블록 최댓값이 약간 극단가치 분포를 따르고 약한 의존성을 가진 시간열에서 극단가치 분석에 대한 이론적 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 블록 크기와 블록 수가 모두 무한으로 갈 때의 삼각형 배열을 사용한다.
• 블록 최댓값 벡터의 경험적 코풀라를 한계 극단가치 코풀라에 대한 비모수적 추정기로 사용한다.
• 절대 정규성 조건 하에서 경험적 코풀라 과정이 가우시안 과정으로 수렴함을 보이기 위해 약한 수렴 이론을 적용한다.
• 최소 거리 추정을 통해 경험적 코풀라를 기반으로 피카운즈 의존도 함수를 추정한다.
• 한계 과정이 진정한 한계 코풀라에서의 독립 샘플과 점근적으로 동일함을 이용한다.
• 특히 절대 정규성(β-혼합) 조건 하에서 일반적인 혼합 조건 하에서 수렴 결과를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 시간열이 i.i.d. 가 아니라 약한 의존성을 가질 경우, 블록 최댓값의 경험적 코풀라가 여전히 일치성과 점근 정규성을 가지는가?
• RQ2 시간적 의존성이 존재하는 시간열 환경에서 경험적 코풀라를 사용하여 피카운즈 의존도 함수를 비모수적으로 추정할 수 있는가?
• RQ3 증가하는 블록 크기와 블록 수를 가진 삼각형 배열 점근 이론 하에서 경험적 코풀라 과정의 한계 분포는 무엇인가?
• RQ4 시간적 의존성은 i.i.d. 경우와 비교해 경험적 코풀라의 점근 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 약한 의존성을 가진 다변량 시간열에서 블록 최댓값의 코풀라가 어떤 조건에서 극한 극단가치 코풀라로 수렴하는가?

주요 결과

• 절대 정규성 조건 하에서, 블록 최댓값의 경험적 코풀라는 한계 극단가치 코풀라에 대한 일치성 있고 점근 정규적인 추정기이다.
• 경험적 코풀라 과정의 한계 과정은 블록 최댓값이 진정한 한계 코풀라에서 독립적으로 추출된 경우와 동일한 가우시안 과정이다.
• 피카운즈 의존도 함수의 최소 거리 추정기의 점근 분포는 i.i.d. 경우와 동일하다.
• 한계 극단가치 코풀라는 반드시 최대 안정적이며, 그 의존도는 피카운즈 의존도 함수로 특징지어진다.
• 경험적 코풀라의 한계 극단가치 코풀라로의 수렴은 (0,1]^d의 컴acts 부분집합에서 균일하다.
• 이론적 틀은 블록 최댓값을 다변량 극단가치 분석에 사용할 수 있음을 정당화하며, 이는 블록 최댓값이 의존적이며 근사적으로 극단가치 분포를 따를 경우에도 적용 가능하다.