[논문 리뷰] Extreme Value Laws for non stationary processes generated by sequential and random dynamical systems

Ana Cristina Moreira Freitas, Jorge Milhazes Freitas외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 14.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 35인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 순차적 및 랜덤 동역계에서 유래하는 비 stationary 확률과정에 대한 일반화된 극값 이론을 개발하며, 이전의 균일 혼합 조건을 완화한다. 균일하게 확장되는 사상과 랜덤 섬유 시스템에 대해 극값 법칙을 수립하여, 주기성 및 도달 시간 행동에 따라 Weibull 또는 Gumbel 분포로 수렴함을 보인다.

ABSTRACT

We develop and generalize the theory of extreme value for non-stationary stochastic processes, mostly by weakening the uniform mixing condition that was previously used in this setting. We apply our results to non-autonomous dynamical systems, in particular to {\\em sequential dynamical systems}, given by uniformly expanding maps, and to a few classes of random dynamical systems. Some examples are presented and worked out in detail.

연구 동기 및 목표

• 이전에 요구되었던 균일 혼합 조건을 완화함으로써 비 stationary 과정에 대한 극값 이론(EVT)을 일반화하는 것.
• 특히 비 stationary 측도 하에서 균일하게 확장되는 사상에 의해 생성되는 순차적 동역계에 대한 극값 법칙을 수립하는 것.
• 랜덤 섬유 동역계에 대한 EVT를 확장하며, 랜덤 서브시프트 및 초구형 기반 역학을 포함한 시스템을 다루는 것.
• 정적 측도가 존재하지 않는 비 자율 시스템에 적용 가능한 이론적 프레임워크를 제공하여 희귀 사건의 통계 분석을 가능하게 하는 것.
• β-변환과 다차원 사상과 같은 구체적 예시에서 극값 수렴 조건을 검증하는 것.

제안 방법

• 비 stationary 과정의 의존성을 분리하기 위해 블록 구축 방법을 사용하여 극값 극한 정리의 적용을 가능하게 한다.
• 극값 의존성을 제어하기 위해 D-혼합 및 D’-혼합 조건(D_q 및 D’_q)을 적용하며, q > 2h₀/h₁ 조건이 충분한 감쇠를 보장한다.
• 시간 스케일화된 임계값 u_n 및 w_n을 정의하여 w_n ≈ τμ(φ > u_n)가 되도록 하며, 이는 고전적 EVT 정규화와 일치한다.
• 관측 가능 함수 φ를 통해 점들을 시린드릭 세트 C_n(ζ)로 매핑하고, φ(x) = g(μ(C_n(x)(ζ)))를 정의하여 희귀 사건 도달 시간을 추적한다.
• 코로나리 5.1을 적용하여 조건 (2.2), D_q(u_n,i), D’_q(u_n,i), 및 (2.8)을 P-a.e. ω에서 검증함으로써 극한 분포를 유도한다.
• 균일하게 확장되는 사상의 전이 연산자 및 스펙트럼 간격 성질을 사용하여 상관관계의 지수 감쇠와 기억 상실을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순차적 동역계에서 유래한 비 stationary 과정이 어떤 조건에서 극값 법칙을 만족하는가?
• RQ2 점 ζ의 주기성이 순차적 시스템에서 극값 분포의 극한에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 비 stationary 측도를 가진 랜덤 섬유 동역계에 대해 극값 법칙을 수립할 수 있는가?
• RQ4 혼합 속도(D_q 및 D’_q로 측정됨)는 극값 분포로의 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 도달 시간 분포 및 시린드릭 세트 측도는 비 stationary 설정에서 극값 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비주기적 점 ζ에 대해서는 w_n 관측치의 최댓값의 극한 분포는 Gumbel 분포로 수렴한다: limₙ→∞ μ^ω(M_{w_n} ≤ u_n) = exp(−τ).
• 주기 p를 가진 주기적 점 ζ에 대해서는 Weibull 유형 법칙이 극한 분포가 된다: limₙ→∞ μ^ω(M_{w_n} ≤ u_n) = exp(−θτ), 여기서 θ = limₙ→∞ μ(C_n(ζ) ackslash C_{n+p}(ζ)) / μ(C_n(ζ)).
• D_q(u_n,i) 조건은 q > 2h₀/h₁일 때 성립하여 극값 과정의 의존성 감쇠가 충분히 보장된다.
• D’_q(u_n,i)의 검증은 균일하게 확장되는 시스템에서 상관관계 감쇠 및 전이 연산자의 스펙트럼 간격에 의존한다.
• 시간 척도 w_n = [τμ(φ > u_n)]는 적절한 정규화를 보장하며, 고전적 EVT 스케일링과 일치한다.
• 결과는 β-변환, 랜덤 가산 노이즈, 다차원 균일하게 확장되는 사상, 커버링 맵을 특수 케이스로 적용할 수 있다.