[논문 리뷰] Extreme value statistics for truncated Pareto-type distributions

Jan Beirlant, Isabel Fraga Alves외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 15.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 우측으로 잘린 Pareto 유형 분포에 대한 강건한 극값 추정 프레임워크를 제안한다. 기존의 Hill 및 최대우도추정법(MLE)을 알려지지 않은 잘림점이 있는 우측으로 잘린 데이터에 확장하여 적용한다. 이는 알려지지 않은 잘림점 하에서 잘린 Pareto QQ-플롯과 일致하고 점근적으로 정규분포를 따르는 트림드 추정량 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 을 도입한다. 이는 잘림된 모형과 비잘림된 모형 양쪽 모두에서 일致성과 점근적 정규성을 유지하며, 이론적 분석과 시뮬레이션을 통해 잘림 상황에서 성능 향상이 확인된다.

ABSTRACT

Recently attention has been drawn to practical problems with the use of unbounded Pareto distributions, for instance when there are natural upper bounds that truncate the probability tail. Aban, Meerschaert and Panorska (2006) derived the maximum likelihood estimator for the Pareto tail index of a truncated Pareto distribution with a right truncation point $T$. The Hill (1975) estimator is then obtained by letting $T o \infty$. The problem of extreme value estimation under right truncation was also introduced in Nuyts (2010) who proposed a similar estimator for the tail index and considered trimming of the number of extreme order statistics. Given that in practice one does not always know whether the distribution is truncated or not, we discuss estimators for the Pareto index and extreme quantiles both under truncated and non-truncated Pareto-type distributions. We also propose a truncated Pareto QQ-plot in order to help deciding between a truncated and a non-truncated case. In this way we extend the classical extreme value methodology adding the truncated Pareto-type model with truncation point $T o \infty$ as the sample size $n o \infty$. Finally we present some practical examples, asymptotics and simulation results.

연구 동기 및 목표

• 자연적인 상한선으로 인해 꼬리가 잘릴 수 있는 응용 분야(예: 보험 및 환경 위험)에서 무한한 Pareto 모형의 실용적 한계를 해결하기 위해.
• 잘림된 모형과 비잘림된 Pareto 유형 분포 모두에서 꼬리 지수 $\alpha$에 대한 일치하고 점근적으로 정규분포를 따르는 추정량을 개발하기 위해.
• 잘림된 모형과 비잘림된 무거운 꼬리 데이터를 경험적으로 구분할 수 있도록 잘린 Pareto QQ-플롯을 제안하기 위해.
• 하위 극단값을 제거하는 트리밍(Trimming)이 꼬리 지수 추정량의 편향과 분산에 미치는 영향을 조사하여 강건성을 향상시키기 위해.
• 잘림점 $T$가 알려지지 않았고 데이터로부터 추정될 수 있다는 가정 하에, 새로운 추정량 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 의 점근 이론을 수립하기 위해.

제안 방법

• Aban 등(2006)의 최대우도추정법(MLE)을 잘린 Pareto 분포에 적용하여 알려지지 않은 잘림점 $T$를 고려하고, 가장 큰 $k+1$개의 순서통계량을 사용한다.
• 로그 간격의 트림드 합에 기반한 수정된 추정량 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 을 제안하며, 다음 식을 풀어 구한다: $H_{r,k,n} = \frac{1}{\alpha} + \frac{R_{r,k,n}^{\alpha} \log R_{r,k,n}}{1 - R_{r,k,n}^{\alpha}}$, 여기서 $R_{r,k,n} = X_{n-k,n}/X_{n-r+1,n}$.
• 뉴턴-라프슨 반복법을 사용하여 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 의 추정식을 수치적으로 풀어 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 순서통계량의 비율에 기반한 잘린 Pareto QQ-플롯을 도입하여 데이터가 잘린지 비잘림된 Pareto 모형을 따르는지 시각적으로 평가할 수 있도록 한다.
• $k \to \infty$, $n \to \infty$, $k/n \to 0$, 그리고 $nD_T \to 0$ 라는 조건 하에 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 의 점근 분포를 유도한다. 여기서 $D_T$ 는 잘림점까지의 상대적 거리를 측정한다.
• 로그우도의 두 번째 차수 전개를 적용하고, 천이값 이론과 천천히 변화하는 함수를 사용하여 편향과 분산 성분을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알려지지 않은 잘림점 $T$ 가 있는 상황에서, 특히 잘림점이 알려지지 않은 경우 극값 추정을 어떻게 잘린 Pareto 꼬리에 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 상위 순서통계량을 트리밍함으로써 꼬리 지수 추정량 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 의 편향과 분산에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 잘린 Pareto QQ-플롯과 같은 진단 도구는 잘린 모형과 비잘림된 Pareto 유형 분포를 신뢰성 있게 구분할 수 있는가?
• RQ4 한계 $T \to \infty$ (즉, 비잘림된 경우) 에서 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 의 점근 분포는 어떻게 행동하는가? 그리고 고전적인 Hill 추정량과 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ5 유한 표본에서의 성질로서, 새로운 추정량 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 이 잘림된 모형과 비잘림된 모형 모두에서 어떻게 행동하는가? 그리고 기존 방법과 비교해보면 어떻게 되는가?

주요 결과

• 제안된 추정량 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 은 잘림된 모형과 비잘림된 Pareto 유형 모형 양쪽 모두에서 일치성과 점근적 정규성을 보이며, 그 점근 분포는 트리밍 파라미터 $r$ 에 따라 달라진다.
• 하위 극단값을 트리밍함으로써($r$ 증가) $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 의 분산은 감소하지만 편향은 증가한다. 이는 그림 8에 그려진 함수 $\sigma^2(\lambda)$ 와 $\beta(\lambda)$ 를 통해 확인된다.
• 트리밍 파라미터 $r=1$ 일 때 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 의 점근적 편향은 고전적인 Hill 추정량과 동일한 주기를 가지지만, $r$ 이 증가함에 따라 감소한다. 다만 효율성의 손실를 수반한다.
• 잘린 Pareto QQ-플롯은 비잘림된 모형에서의 이격을 효과적으로 시각화하며, 선형성에서의 명확한 이격이 잘림을 나타낸다.
• $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 은 $\sqrt{k}$ 속도로 진짜 $\alpha$ 에 수렴하며, 편향 항은 $b^*((C_T n/k)^{1/\alpha})$ 비례한다. 여기서 $b^*$ 는 두 번째 차수 행동과 관련된 천천히 변화하는 함수이다.
• 만약 $T \to \infty$ 이면, 추정량 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ 은 고전적인 Hill 추정량 $H_{k,n}$ 으로 수렴하며, 표준 극값 이론 프레임워크와의 일致성을 확인한다.