[논문 리뷰] Extreme values of $|ζ(1+it)|$

Andrew Granville, K. Soundararajan|arXiv (Cornell University)|2005. 01. 14.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 1인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 확률적 모델과 오일러乘수 근사법을 사용하여 $|\zeta(1+it)|$의 극값 분포를 수립하며, 큰 값의 빈도가 정확한 지수 감쇠를 따른다는 것을 보여준다. 밀도 모델을 가정할 경우 $\max_{t \in [T,2T]} |\zeta(1+it)| \sim e^{\gamma}(\log_2 T + \log_3 T + C_1 + o(1))$임을 증명하고, $t$의 양의 비율에 대해 $e^{\gamma}(\log_2 T + \log_3 T - \log_4 T - \log A + O(1))$의 하한을 제시한다.

ABSTRACT

Improving a result of N. Levinson, we exhibit large and small values of $|ζ(1+it)|$.

연구 동기 및 목표

• 큰 $t$에 대해 $|\zeta(1+it)|$의 극값 빈도 분포를 결정하기.
• 구간 $[T,2T]$에서 $|\zeta(1+it)|$의 최댓값에 대한 추측된 渐近 표현을 수립하기.
• 결과를 $s=1$에서의 $L$-함수로 확장하기.
• 소수 위에서의 무작위 곱셈 함수 기반의 확률 모델을 사용하여 추측된 분포를 검증하기.
• $[0,T]$ 내의 $t$ 중 양의 비율이 추측된 최댓값에 가까운 값을 갖는다는 것을 증명하기.

제안 방법

• 구간 $[T,2T]$ 내에서 $|\zeta(1+it)| > e^{\gamma}\tau$ 또는 $< \frac{\pi^2}{6e^{\gamma}\tau}$인 $t$의 비율을 측정하는 분포 함수 $\Phi_T(\tau)$와 $\Psi_T(\tau)$를 정의하기.
• 독립적인 단위 원 위의 균일 분포를 가진 랜덤 변수 $X(p)$를 사용한 확률 모델 $L(1,X) = \prod_p (1 - X(p)/p)^{-1}$를 사용하기.
• 1 \ll \tau \leq \log_2 T - 20 범위에서 랜덤 모델의 꼬리 확률 $\Phi(\tau)$와 $\Psi(\tau)$가 $\Phi_T(\tau)$ 및 $\Psi_T(\tau)$의 渐近과 일치함을 증명하기.
• 두 칸 원리(포함 원리)를 적용하여 $|\zeta(1+it)| > e^{\gamma}(\log_2 T + \log_3 T - \log_4 T - \log A + O(1))$를 만족하는 $t$-값의 집합을 구성하기.
• 페론의 공식과 영이 없는 영역을 사용하여 $\log \zeta(\sigma + it)$의 디리클레 다항식 근사에서 오차 항을 제어하기.
• 모멘트 추정과 큰 筛를 사용하여 소수 모듈로의 캐릭터 간 상관관계를 제어하고, 랜덤 오일러 곱의 분산을 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 $\tau$에 대해 $|\zeta(1+it)| > e^{\gamma}\tau$를 만족하는 $t$의 빈도는 어떻게 되는가?
• RQ2 관측된 극값 분포가 $[T,2T]$에서의 $|\zeta(1+it)|$의 추측된 최댓값을 지지하는가?
• RQ3 $1/|\zeta(1+it)|$의 극값은 어떻게 행동하며, 그 빈도는 어떠한가?
• RQ4 $|\zeta(1+it)|$의 분포적 성질이 랜덤 오일러 곱과 얼마나 일치하는가?
• RQ5 유사한 결과를 큰 소수 모듈로의 비자명한 디리클레 캐릭터 $\chi$에 대해 $|L(1,\chi)|$로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 1 \ll \tau \leq \log_2 T - 20 범위에서, $|\zeta(1+it)| > e^{\gamma}\tau$를 만족하는 $t \in [T,2T]$의 비율은 渐近적으로 $\exp\left(-\frac{2e^{\tau - C - 1}}{\tau}\left(1 + O\left(\frac{1}{\tau^{1/2}} + \left(\frac{e^{\tau}}{\log T}\right)^{1/2}\right)\right)\right)$이다.
• 같은 渐近이 $|\zeta(1+it)| < \frac{\pi^2}{6e^{\gamma}\tau}$를 만족하는 $t$의 비율에도 적용되며, 극단 꼬리 행동에서 대칭성이 있음을 시사한다.
• 모든 $A \geq 10$에 대해, $|\zeta(1+it)| \geq e^{\gamma}(\log_2 T + \log_3 T - \log_4 T - \log A + O(1))$를 만족하는 $[0,T]$ 내의 $t$의 집합이 최소 $T^{1 - 1/A}$의 측도를 갖는다.
• 지수에 나타나는 상수 $C$는 $C = \int_0^2 \log I_0(t) \frac{dt}{t^2} + \int_2^\infty (\log I_0(t) - t) \frac{dt}{t^2}$로 주어지며, 여기서 $I_0(t)$는 수정형 베셀 함수이다.
• 결과는 $T$를 $q$로 대체함으로써, 큰 소수 $q$에 대해 비자명한 디리클레 캐릭터 $\chi$에 대해 $|L(1,\chi)|$로 그대로 확장된다.
• 구간 $[P,2P]$에서 $q$를 평균화할 경우, $|L(1,\chi)|$의 분포 함수는 $1 \ll \tau \leq \log_2 P + \log_3 P - O(1)$ 범위에서 잘 근사되며, 오차 항이 향상된다.