[논문 리뷰] Extremes of Chi-square Processes with Trend

Peng Liu, Lanpeng Ji|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다항식 트렌드를 갖는 카이제곱 과정의 최대값에 대한 정확한 꼬리 점 渐진을 자기유사성 가우시안 과정에 의해 구동되는 과정에 대해 유도한다. 상관 구조에 대한 局소 정staionarity 조건 하에서, 피카운즈 및 피터바르그 상수가 포함된 정밀한 점 渐진 표현을 수립하며, 이는 리스크 이론과 큐잉 시스템에서의 파산 확률 및 최초 통과 시간에 대한 결과들을 확장한다.

ABSTRACT

This paper studies the supremum of a chi-square process with trend over a threshold-dependent-time horizon. Under the assumption that the chi-square process is generated from a centered self-similar Gaussian process and the trend function is modeled by a polynomial function, we obtain the exact tail asymptotics of the supremum of the chi-square process with trend. These results are of interest in applications in engineering, insurance, queueing and statistics, etc. Some possible extensions of our results are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 시간 간격이 임계값에 의존할 수 있는 시간 범위에서 다항식 트렌드를 갖는 카이제곱 과정의 최대값의 꼬리 행동을 분석하는 것.
• 특히 보험 및 공학 응용에서 중요한 비상수 트렌드 함수를 포함하여 기존의 카이제곱 과정 결과를 확장하는 것.
• 시간에 따라 변화하는 안전 영역 또는 보험료 함수를 갖는 모델에서의 파산 확률 및 최초 통과 시간에 대한 정확한 점 渐진 표현을 도출하는 것.
• 비정상성 가우시안 과정에 대한 이전 결과를 비균일한 스케일링 계수와 더 일반적인 상관 구조를 允허함으로써 일반화하는 것.
• 치승 과정에 트렌드가 포함된 제한 통계 검정 통계량에 대한 이론적 기초를 제공하는 것, 이는 통계적 추론에 관련된다.

제안 방법

• 지수 $ H \in (0,1) $ 를 갖는 중심화된 자기유사성 가우시안 과정의 독립 복제들의 제곱 합으로 카이제곱 과정을 모델링하며, $ \mathrm{Var}(Y(t)) = t^{2H} $ 를 만족시킨다.
• 보험 잔고 또는 안전 영역에서 시간에 따라 변화하는 드리프트를 나타내기 위해 $ c, \beta > 0 $ 인 다항식 트렌드 함수 $ ct^\beta $ 를 도입한다.
• 최대값 지점 $ t_0 $ 근처에서 기저 가우시안 과정의 상관 구조에 대해 局소 정staionarity 조건을 도입하며, $ s,t \to t_0 $ 일 때 $ \mathrm{Corr}(Y(s), Y(t)) = 1 - d|t-s|^\nu(1+o(1)) $ 를 요구한다.
• 가우시안 랜덤 필드에 대한 페르니크 타입 부등식을 적용하여 꼬리 확률을 제어하고 지수 모멘트 경계를 확립한다.
• 측도 변화 기법과 최대값 지점 근처의 점 渐진 분석을 활용하여 꼬리 확률의 주요 차수 행동을 도출한다.
• 피카운즈 및 피터바르그 상수가 상관 구조가 정적 증분을 갖는 가우시안 과정의 최대값 분포 분석에서 자연스럽게 나타나도록, 점 渐진 표현을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계값에 의존하는 시간 간격에서 다항식 트렌드를 갖는 카이제곱 과정의 최대값에 대한 정확한 꼬리 점 渐진은 무엇인가?
• RQ2 자기유사성 가우시안 과정에 의해 구동되는 리스크 모델에서 결정적 트렌드의 존재가 파산 확률에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 트렌드를 갖는 카이제곱 과정의 최초 통과 시간의 점 渐진 행동은 무엇이며, 어떻게 조건부로 근사화할 수 있는가?
• RQ4 기저 가우시안 과정이 비동일한 분포를 갖거나 더 일반적인 상관 구조를 갖는 경우에도 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ5 지역 정staionarity 조건 하에서 다항식 트렌드를 갖는 카이제곱 과정의 점 渐진 분석에서 피카운즈 및 피터바르그 상수는 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 무한 시간 간격($ T = \infty $)의 경우, 트렌드를 갖는 카이제곱 과정의 최대값에 대한 꼬리 점 渐진은 $ u \to \infty $ 일 때 $ \psi_\infty(u) \sim C \cdot u^{-\alpha} \cdot e^{-u/2} $ 의 형태를 띤다. 여기서 $ C $ 는 피카운즈 및 피터바르그 상수를 포함한다.
• 시간 간격이 임계값에 의존하는 경우($ T = T_u $), 다항식 트렌드 지수 $ \beta $ 를 포함한 수정된 스케일링이 특징이며, 이로 인해 다른 정규화 및 극한 상수가 도출된다.
• (2)에서 정의된 과정의 조건부 최초 통과 시간은 점 渐진적으로 근사화되며, 생존 확률은 트렌드와 상관 구조에 의해 결정되는 비율로 지수적으로 감소한다.
• 레마 2.2에서 도출된 페르니크 타입 부등식은 가우시안 랜덤 필드의 꼬리 행동에 대한 중요한 경계를 제공하며, 시간에 걸친 최대값 제어를 가능하게 한다.
• 기저의 $ Y_i $'들이 독립이지만 동일분포가 아닐 경우에도 결과가 확장되며, 상관 구조가 일반화된 지역 정staionarity 조건을 만족할 경우에 해당된다.
• 지역 최대값 지점에서의 행동이 가정된 거듭제곱 감쇠 법칙과 일치할 경우, 상관 구조의 변형에 대해 점 渐진 표현이 안정적임이 입증된다.