[논문 리뷰] Extremes of local times for simple random walks on symmetric trees

Yoshihiro Abe|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 30.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 깊이 $n$인 $b$-진수 트리에서 단순 대칭 랜덤 워크의 국소 시간의 극값 행동을 연구하며, 깊이 $r_n$인 부분트리에서 국소 시간의 위치와 적절히 중심화된 최댓값을 코딩하는 점과정이 약한 수렴을 통해 $\alpha Z_\infty(dx) \otimes e^{-2\sqrt{\log b}\, y}dy$의 강하된 코크 과정(Cox process)으로 수렴함을 보여준다. 여기서 $Z_\infty$는 임계 랜덤 곱측도 캐스케이드 측도이다. 이를 통해 잎에서의 국소 시간 최댓값이 무작위로 이동된 구불라 분포로 수렴함을 유도할 수 있다.

ABSTRACT

We consider local times of the simple random walk on the $b$-ary tree of depth $n$ and study a point process which encodes the location of the vertex with the maximal local time and the properly centered maximum over leaves of each subtree of depth $r_n$ rooted at the $(n-r_n)$ level, where $(r_n)_{n \geq 1}$ satisfies $\lim_{n o \infty} r_n = \infty$ and $\lim_{n o \infty} r_n/n \in [0, 1)$. We show that the point process weakly converges to a Cox process with intensity measure $αZ_{\infty} (dx) \otimes e^{-2\sqrt{\log b}~y}dy$, where $α> 0$ is a constant and $Z_{\infty}$ is a random measure on $[0, 1]$ which has the same law as the limit of a critical random multiplicative cascade measure up to a scale factor. As a corollary, we establish convergence in law of the maximum of local times over leaves to a randomly shifted Gumbel distribution.

연구 동기 및 목표

• 단순 랜덤 워크의 $b$-진수 트리에서의 극값 국소 시간의 점근적 분포를 분석하기 위해.
• 깊이 $r_n$인 부분트리에서 최대 국소 시간을 가진 정점들을 코딩하는 점과정의 구조를 이해하기 위해.
• 이 점과정이 임계 랜덤 곱측도 캐스케이드 측도 $Z_\infty$에 의해 구동되는 코크 과정으로 약한 수렴을 보임을 확립하기 위해.
• 잎에서의 국소 시간 최댓값의 극한 분포를 도출하여 극값 이론과 연결하기 위해.

제안 방법

• 깊이 $r_n$인 부분트리에서 루트가 수준 $n - r_n$에 위치한 각 부분트리에 대해 공간적 위치 $\sigma(\text{argmax})$와 중심화된 국소 시간 최댓값을 기록하는 점과정 $\Xi_{n,t}^{(m)}$을 정의한다.
• 수렴을 안정화하기 위해 $\sqrt{\log b}\, n$, $\log n$, 그리고 $\log((\sqrt{t}+n)/\sqrt{t})$를 포함하는 중심화 수열 $a_n(t)$를 사용한다.
• 일반화된 두 번째 레이-나이트 정리를 적용하여 국소 시간을 가우시안 필드와 연결하고 브랜치드 랜덤 워크(BRW)와 연관시킨다.
• 유도된 마틴갈 $D_\infty$와 임계 랜덤 곱측도 캐스케이드 측도 $Z_\infty$의 수렴을 이용하여 극한 강도 측도를 특성화한다.
• 큰 변화도 추정과 커플링 추론을 사용하여 겹치는 부분트리에서 동시에 최댓값이 발생할 확률을 제어한다.
• 도달 시간 추정과 브라운 운동 근사치를 사용한 추정치를 활용하여 모멘트 및 상관관계 경계를 통해 약한 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 트리 깊이 $n \to \infty$일 때, 대칭 트리의 부분트리에서 극값 국소 시간의 점과정은 약한 수렴을 보이나?
• RQ2 국소 시간의 극값 점과정의 극한 강도 측도는 무엇인가?
• RQ3 잎에서의 국소 시간 최댓값은 점근적으로 어떻게 행동하며, 구불라 분포로 수렴하는가?
• RQ4 임계 랜덤 곱측도 캐스케이드 측도 $Z_\infty$는 극값 국소 시간의 공간적 구조를 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 일반적인 스케일링 $r_n \to \infty$이며 $r_n/n \in [0,1)$ 조건 하에서 수렴을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 깊이 $r_n$인 부분트리에서 국소 시간의 위치와 중심화된 최댓값을 코딩하는 점과정 $\Xi_{n,t}^{(m)}$은 $\alpha Z_\infty(dx) \otimes e^{-2\sqrt{\log b}\, y}dy$의 강도 측도를 가진 코크 과정으로 약한 수렴을 보인다. 여기서 $\alpha > 0$은 상수이다.
• 극한 랜덤 측도 $Z_\infty$는 스케일 인자까지는 임계 랜덤 곱측도 캐스케이드 측도의 극한과 동일한 분포를 가진다.
• 잎에서의 국소 시간 최댓값은 무작위로 이동된 구불라 분포로 수렴하며, 이는 로그-상관 필드에서의 보편성을 확인한다.
• 중심화 수열 $a_n(t)$는 최대 도달 시간의 성장과 국소 시간 필드의 스케일링을 고려하여 명시적으로 구성된다.
• 브랜치드 랜덤 워크(BRW) 최댓값의 尾 추정치를 사용하여 극값 국소 시간 사건의 확률을 제어하며, $e^{-2\sqrt{\log b}\, y}$ 및 $e^{-c y^2/n}$ 형태의 경계를 포함한다.
• 조건 $\lim_{n\to\infty} r_n = \infty$ 및 $\lim_{n\to\infty} r_n/n \in [0,1)$ 하에서 수렴이 성립하며, 이는 점근적 안정성을 확보하기 위한 충분한 부분트리 깊이를 보장한다.