[논문 리뷰] Extremes of Order Statistics of Stationary Processes

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 28.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Albin의 조건 하에, i.i.d. 정상 확률과정 n개의 r번째 순서통계량 과정이 시간 간격 [0,T] 동안 높은 임계값 u를 초과할 확률에 대한 정확한 渐近 전개를 유도한다. 이는 비대칭 정규과정에 대한 꼬리 渐近 해석과 정규과정 최소값에 대한 Gumbel 극한정리도 제시하며, Li와 Shao의 정규 비교 보조정리(lemma)를 극단적인 순서통계량으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $\{X_i(t),t\ge0\}, 1\le i\le n$ be independent copies of a stationary process $\{X(t), t\ge0\}$. For given positive constants $u,T$, define the set of $r$th conjunctions $ C_{r,T,u}:= \{t\in [0,T]: X_{r:n}(t) > u\}$ with $X_{r:n}(t)$ the $r$th largest order statistics of $X_1(t), \ldots , X_n(t), t\ge 0$. In numerous applications such as brain mapping and digital communication systems, of interest is the approximation of the probability that the set of conjunctions $C_{r,T,u}$ is not empty. Imposing the Albin's conditions on $X$, in this paper we obtain an exact asymptotic expansion of this probability as $u$ tends to infinity. Further, we establish the tail asymptotics of the supremum of a generalized skew-Gaussian process and a Gumbel limit theorem for the minimum order statistics of stationary Gaussian processes. As a by-product we derive a version of Li and Shao's normal comparison lemma for the minimum and the maximum of Gaussian random vectors.

연구 동기 및 목표

• 정상과정 X가 Albin의 조건을 만족할 때, 시간 간격 [0,T] 동안 r번째 순서통계량 과정이 높은 임계값 u를 초과할 확률에 대한 정확한 渐近 전개를 도출하는 것.
• Li와 Shao의 정규 비교 보조정리를 정규 랜덤 벡터의 최소 및 최대 순서통계량으로 확장하는 것.
• 비대칭 정규과정의 순서통계량 과정의 최대값에 대한 꼬리 渐近 해석을 수립하는 것.
• 정상 정규과정의 최소 순서통계량에 대한 Gumbel 극한정리를 증명하는 것.
• 희귀 동시 사건을 포함한 FMRI, 뇌 영상 분석, 디지털 통신 분야의 응용을 위한 이론적 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• 정상과정 X에 대해 Albin의 조건(Gumbel MDA, 조건부 극한, 짧은 지속 초과)을 도입한다.
• 시간 척도 변환과 조건부 극한 정리들을 활용하여 순서통계량의 초과 행동을 분석한다.
• Li와 Shao의 정규 비교 보조정리의 일반화된 형태를 적용하여 정규벡터의 공동 꼬리 확률의 차이를 제한한다.
• u→∞ 일 때, P(sup_{t∈[0,T]} X_{r:n}(t) > u)에 대한 정확한 渐近 전개를 유도한다.
• 극단가 이론을 통해 정상 정규과정의 최소값에 대한 Gumbel 극한법칙을 수립한다.
• Slepian의 부등식과 적분 경계를 사용하여 극단적 순서통계량의 꼬리 차이를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정상과정가 Albin의 조건을 만족할 때, u→∞ 일 때 P(sup_{t∈[0,T]} X_{r:n}(t) > u)의 정확한 渐近 행동은 무엇인가?
• RQ2 비대칭 정규과정의 꼬리 성질은 그 순서통계량의 최대값에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 Li와 Shao의 정규 비교 보조정리는 정규벡터의 최소 및 최대 순서통계량을 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?
• RQ4 정상 정규과정의 최소 순서통계량이 높은 임계값에서의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ5 일반화된 Albin 상수가 극한 확률의 근사에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 Albin의 조건 하에 u→∞ 일 때 P(C_{r,T,u} ≠ ∅) = P(sup_{t∈[0,T]} X_{r:n}(t) > u)에 대한 정확한 渐近 전개를 도출한다.
• 비대칭 정규과정의 순서통계량 과정의 최대값에 대한 꼬리 渐近 해석이 수립되었으며, 이는 정규 모델을 초월한 결과를 확장한다.
• 정상 정규과정의 최소 순서통계량에 대한 Gumbel 극한정리가 증명되었으며, Gumbel 분포 수렴이 확인된다.
• 정규벡터의 최소 및 최대 순서통계량을 다룰 수 있는 Li와 Shao의 정규 비교 보조정리의 새로운 형태가 도출되었다.
• 공동 꼬리 확률의 차이에 대한 경계는 n u^{-2(n-1)} exp(-n u^2 / (1 + ρ_{il})) 비례하는 항을 포함하며, 이는 n과 u에 대해 지수적 감소를 보인다.
• 증명은 상관 구조가 변화하는 가우시안 과정의 가족을 통한 확률적 쌍용(coupling)에 기반하며, 정밀한 꼬리 비교를 가능하게 한다.