[논문 리뷰] Extremes of transient Gaussian fluid queues

Krzysztof Dȩbicki, Peng Liu|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 10.

Advanced Queuing Theory Analysis인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 중심화된 정staionary 증분을 가지는 가우시안 과정에 의해 구동되는 일시적 가우시안 플루이드 큐잉 모델에서 꼬리 확률 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$에 대한 정확한 渐近적 행동을 유도한다. $Q(t)$는 큐 길이를 나타내며, 미약한 조건 하에서 두 개의 별개의 영역—단시간($T_u$가 $u$에 비해 작음)과 중간/장시간($T_u$가 $u$에 비해 큼)—을 식별하고 각 영역에서 정확한 꼬리 행동을 확립하며, 정상분포 수렴 속도에 대한 함의를 제시한다.

ABSTRACT

This contribution investigates asymptotic properties of transient queue length process $$ Q(t)=\max\left(x+X(t)-ct, \sup_{0\leq s\leq t}\left(X(t)-X(s)-c(t-s) ight) ight), t\geq 0 $$ in Gaussian fluid queueing model, where input process $X$ is modeled by a centered Gaussian process with stationary increments, $c>0$ is the output rate and $x=Q(0)\ge0$. More specifically, under some mild conditions on $X$, exact asymptotics of $$\mathbb{P}\left(Q(T_u)>u ight) $$ as $u o\infty$, is derived. The play between $u$ and $T_u$ leads to two qualitatively different regimes: (A) short-time horizon when $T_u$ is relatively small with respect to $u$; (B) moderate- or long-time horizon when $T_u$ is asymptotically much larger than $u$. As a by-product, some implications for the speed of convergence to stationarity of the considered model are discussed.

연구 동기 및 목표

• 정staionary 증분을 가지는 가우시안 플루이드 큐잉 모델에서 일시적 큐 길이 과정의 점근적 행동을 분석하기 위해.
• 다른 시간 척도 영역에서 $u \to \infty$일 때 꼬리 확률 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$를 특성화하기 위해.
• $T_u$와 $u$의 상대적 성장에 기반하여 두 가지 본질적으로 다른 영역을 식별하고 구분하기 위해.
• 특히 극단치에 중점을 두어 각 영역에서 꼬리 확률에 대한 정확한 渐 asymptotics를 도출하기 위해.
• 모델에서 정상분포 수렴 속도에 대한 결과의 함의를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 입력 과정 $X(t)$를 중심화된 가우시안 과정으로 모델링하고, 큐 길이 $Q(t)$를 드리프트 조정된 과정과 그 과거 최대 적자에 대한 최대값으로 정의하기 위해.
• 시간 $T_u$가 $u$에 따라 변하는 조건에서 $u \to \infty$의 극한에서 꼬리 확률 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$를 분석하기 위해.
• 희귀사건 행동을 연구하기 위해 대규모 편차 기법과 경로 기반 분석을 적용하기 위해.
• 시간 척도에 따라 두 영역로 나누기: (A) $T_u$가 $u$에 비해 작음, (B) $T_u$가 $u$보다 훨씬 큼.
• 가우시안 과정의 표본 경로 성질을 이용하여 각 영역에서 정확한 渐 asymptotics를 도출하기 위해, 특히 과정의 정규화 및 극값 행동에 기반하여.
• 각 영역에서 큰 큐 길이를 유도하는 가장 가능성이 높은 경로를 분석함으로써 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$의 점근적 형태를 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 $T_u$가 $u$에 비해 작을 때 $u \to \infty$일 경우 꼬리 확률 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 시간 $T_u$가 $u$보다 훨씬 빠르게 증가할 경우 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$의 정확한 점근적 형태는 무엇인가?
• RQ3 단시간 및 장시간 시간 영역 간 큐 길이 과정의 극값 행동에 어떤 구조적 차이가 있는가?
• RQ4 점근적 결과는 일시적 가우시안 플루이드 큐에서 정상분포 수렴 속도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 정staionary 증분을 가지는 기저 가우시안 과정의 표본 경로 성질이 꼬리 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 단시간 영역($T_u$가 $u$에 비해 작음)에서 꼬리 확률 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$는 점점 작아지는 시간 간격 내에서 입력 과정의 최댓값에 의해 결정되는 속도로 감소한다.
• 중간 또는 장시간 영역($T_u \gg u$)에서 꼬리 확률은 장기간 시간 간격 동안 누적 입력의 큰 편차 발생 가능성에 의해 지배된다.
• 입력 과정 $X$에 대한 미약한 조건 하에서 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$의 정확한 점근적 형태가 닫힌 형태로 도출된다.
• 두 영역는 본질적으로 다른 척도 행동을 보인다: 단시간 영역은 국소 경로 행동에 의해 지배되고, 장시간 영역은 전반적인 대규모 편차 성질에 의존한다.
• 결과는 장시간 영역에서 더 무거운 꼬리 행동으로 인해 일시적 가우시안 플루이드 큐에서 정상분포 수렴 속도가 느리다는 것을 시사한다.
• 분석은 큐 길이의 극값 행동이 임계값 $u$에 비해 관측 시간 척도에 민감하게 영향을 받는다는 것을 드러낸다.