[논문 리뷰] Füredi-Hajnal limits are typically subexponential.

Josef Cibulka, Jan Kynčl|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 25.

Random Matrices and Applications인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $ k $-순열 행렬 $ P $ 에 대해 Füredi-Hajnal 상수 $ c_P $ 의 초지수적 상계를 확립하며, 랜덤 $ P $ 에 대해 점점 더 작은 상한을 제공한다. 특히, $ c_P \leq 2^{O(k^{2/3} \log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3})} $ 는 점점 더 작은 상한을 제공한다. 또한 모든 $ P $ 에 대해 $ c_P \leq 2^{(4+o(1))k} $ 로 개선된 결과를 도출하며, 이는 이전의 상계를 향상시킨다. 더 나아가, $ d $-차원에서의 순열 행렬 회피 문제에 대해 거의 정확한 상한과 하한을 증명한다.

ABSTRACT

A binary matrix is a matrix with entries from the set $\{0,1\}$. We say that a binary matrix $A$ contains a binary matrix $S$ if $S$ can be obtained from $A$ by removal of some rows, some columns, and changing some $1$-entries to $0$-entries. If $A$ does not contain $S$, we say that $A$ avoids $S$. A $k$-permutation matrix $P$ is a binary $k imes k$ matrix with exactly one $1$-entry in every row and one $1$-entry in every column. The F\uredi-Hajnal conjecture, proved by Marcus and Tardos, states that for every permutation matrix $P$, there is a constant $c_P$ such that for every $n \in \mathbb{N}$, every $n imes n$ binary matrix $A$ with at least $c_P n$ $1$-entries contains $P$. We show that $c_P \le 2^{O(k^{2/3}\log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3})}$ asymptotically almost surely for a random $k$-permutation matrix $P$. We also show that $c_P \le 2^{(4+o(1))k}$ for every $k$-permutation matrix $P$, improving the constant in the exponent of a recent upper bound on $c_P$ by Fox. We also consider a higher-dimensional generalization of the Stanley-Wilf conjecture about the number of $d$-dimensional $n$-permutation matrices avoiding a fixed $d$-dimensional $k$-permutation matrix, and prove almost matching upper and lower bounds of the form $(2^k)^{O(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)}$ and $n^{-O(k)} k^{\Omega(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)}$, respectively.

연구 동기 및 목표

• Füredi-Hajnal 상수 $ c_P $ 의 상한을 향상시키는 것. 이는 $ n \times n $ 이진 행렬에서 $ k \times k $ 순열 행렬 $ P $ 를 회피하는 1-요소의 최대 개수를 제어한다.
• 랜덤 $ k $-순열 행렬에 대해 $ c_P $ 의 渐近적 행동을 규명하여, 일반적으로 $ k $ 에 대해 초지수적임을 보이는 것.
• Stanley-Wilf 추측을 고차원으로 확장하기 위해 고정된 $ d $-차원 $ k $-순열 행렬을 회피하는 $ d $-차원 $ n $-순열 행렬의 수를 분석하는 것.
• 고차원에서의 이러한 회피 집합의 성장률에 대해 거의 정확한 상한과 하한을 확립하는 것.

제안 방법

• 랜덤 $ k $-순열 행렬에 대한 $ c_P $ 의 일반적 행동을 분석하기 위해 확률적 방법을 사용하여, 점점 더 작은 상한이 점점 더 작은 상한을 제공함을 증명한다.
• 극단적 조합론과 행렬 패턴 회피 기법을 적용하여, 이전의 Fox 결과를 향상시킨 worst-case 상한을 유도한다.
• 금지된 구성의 고차원에서의 구조를 분석함으로써, Stanley-Wilf 프레임워크를 $ d $-차원 순열 행렬로 일반화한다.
• 조합적 구성과 엔트로피 기반 추론을 통해 거의 정확한 상한과 하한을 확립하며, 성장률이 다항수 인자들을 제외한 $ (2^k)^{O(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)} $ 으로 표현됨을 보인다.
• Füredi-Hajnal 추측의 Marcus-Tardos 증명을 기반으로, 금지된 순열 패턴의 극한 함수를 유계화하는 데 활용한다.
• 특히 $ k^{2/3} \log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3} $ 에 대한 지수의 渐近적 분석을 통해 초지수적 추정치를 정밀화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 $ k $-순열 행렬 $ P $ 에 대해 Füredi-Hajnal 상수 $ c_P $ 의 일반적인 값은 무엇인가?
• RQ2 특히 $ k $ 에 대한 지수적 의존성 이외로 $ c_P $ 의 상한을 초지수적 형태로 개선할 수 있는가?
• RQ3 고정된 $ d $-차원 $ k $-순열 행렬을 회피하는 $ d $-차원 $ n $-순열 행렬의 수는 $ n $ 과 $ k $ 에 따라 어떻게 증가하는가?
• RQ4 고차원에서의 회피 수에 대한 상한과 하한은 渐近적으로 정확한가?
• RQ5 고차원 순열에서 이러한 회피 집합의 성장률에 대한 정확한 渐近적 지수는 무엇인가?

주요 결과

• 랜덤 $ k $-순열 행렬 $ P $ 에 대해, Füredi-Hajnal 상수는 점점 더 작은 상한을 제공한다. 특히 $ c_P \leq 2^{O(k^{2/3} \log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3})} $ 는 점점 더 작은 상한을 제공한다.
• 모든 $ k $-순열 행렬 $ P $ 에 대해, 상한은 $ c_P \leq 2^{(4+o(1))k} $ 로 개선되어 지수의 계수를 줄였다.
• 논문은 고정된 $ d $-차원 $ k $-순열 행렬을 회피하는 $ d $-차원 $ n $-순열 행렬의 수에 대해 거의 정확한 상한과 하한을 확립한다.
• 회피 수의 상한은 $ (2^k)^{O(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)} $ 이며, 이는 초지수적이지만 계승보다는 느린 성장률을 보인다.
• 하한은 $ n^{-O(k)} k^{\Omega(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)} $ 이며, $ n $ 에 대한 다항수 및 지수적 인자들을 제외한 상한과 거의 일치한다.
• 결과적으로, 고차원 순열에서 금지된 구성의 성장은 엄격하게 제약을 받으며, 상한의 지수는 차원 $ d $ 에 따라 달라진다.