[논문 리뷰] Faber polynomials of matrices for non-convex sets

Bernhard Beckermann, Michel Crouzeix|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 04.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 볼록 집합에서 비볼록 컴팩트 집합 $E \subset \mathbb{C}$로 Faber 다항식의 유계성 $\|F_n(A)\| \leq 2$를 확장하며, 수치적 영역과 역스펙트럼에 대한 조건 하에 $\|F_n(A)\| \leq 1 + v(E)$ 또는 $\|F_n(A)\| \leq 2v(E)$를 확립한다. 주요 기여는 렌즈 모양의 비볼록 집합을 사용한 Krylov 부분공간 방법에 대한 일반화된 오차 유계를 제공함으로써 수치선형대수에서 수렴 추정치를 향상시키는 것이다.

ABSTRACT

It has been recently shown that $|| F_n(A) ||\leq 2$, where $A$ is a linear continuous operator acting in a Hilbert space, and $F_n$ is the Faber polynomial of degree $n$ corresponding to some convex compact $E\subset \mathbb C$ containing the numerical range of $A$. Such an inequality is useful in numerical linear algebra, it allows for instance to derive error bounds for Krylov subspace methods. In the present paper we extend this result to not necessary convex sets $E$.

연구 동기 및 목표

• 행렬의 Faber 다항식에 대한 기존의 유계 $\|F_n(A)\| \leq 2$를 볼록 집합에서 비볼록 컴팩트 집합 $E \subset \mathbb{C}$로 일반화한다.
• 특히 렌즈 모양의 영역을 포함한 비볼록 스펙트럼 집합을 사용하여 GMRES와 같은 Krylov 부분공간 방법에 대한 명시적 오차 유계를 제공한다.
• 스펙트럼 집합 $E$의 기하학적 파라미터를 통해 모든 상수를 명시적으로 표현함으로써 고전적 Elman 유계 및 관련 결과를 확장한다.
• 비볼록 영역에 적용 가능한 Faber 다항식에 대한 새로운 적분 표현을 개발하여 $F_n(A)$의 노름 유계 유도를 가능하게 한다.

제안 방법

• 등각사상과 경계 적분을 기반으로 한 새로운 Faber 다항식 적분 공식을 도입하여 이전 결과를 비볼록 집합으로 일반화한다.
• 행렬 $A$의 스펙트럼 집합 $E$의 외부에서 단위 원판의 외부로 사상하는 리만 사상 $\Phi$를 사용하여 Faber 다항식 $F_n(z)$를 $\Phi(z)^n$의 다항식 부분으로 정의한다.
• 비볼록성의 척도로 사용되는 기하학적 양 $v(E) = \mathop{\rm supess}\left\{ \frac{1}{\pi} \int_{\partial E_z} |d_\sigma \arg(\sigma - z)| \right\}$를 정의하며, 이는 볼록성의 경우 $v(E) = 1$으로 일반화된다.
• 조건 $1/r \geq \|A^{-1}\|$ 하에 $E = \{z \in E_1 : |z| \geq r\}$에 대해 $\|F_n(A)\| \leq 1 + v(E)$라는 새로운 유계를 도출한다. 여기서 $E_1$는 $W(A)$를 포함하는 볼록 집합이다.
• 조건 $1/r \geq \max\{|z| : z \in W(A^{-1})\}$ 하에 $\|F_n(A)\| \leq 2v(E)$라는 두 번째 유계를 확립하여 비볼록 렌즈 모양의 집합에 대해 더 날카로운 추정치를 가능하게 한다.
• 두 원호로 이루어진 렌즈 모양의 집합 $E = \{z : |z - c_1| \leq r_1, |z - c_0| \geq r_0\}$에 적용하여 $\|F_n(A)\|$ 및 $\gamma = 1/|\Phi(0)|$의 명시적 표현을 각각 각도 $\theta_0, \theta_1, \arg a$로 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 유계 $\|F_n(A)\| \leq 2$가 볼록 집합을 초월하여 비볼록 컴팩트 집합 $E$로 확장될 수 있는가?
• RQ2 기하학적 양 $v(E)$는 스펙트럼 집합의 비볼록성을 어떻게 측정하고 $F_n(A)$의 노름을 제어하는 데 사용되는가?
• RQ3 비볼록 렌즈 모양의 스펙트럼 집합을 사용하여 GMRES와 같은 Krylov 부분공간 방법에 대해 어떤 명시적 오차 유계를 도출할 수 있는가?
• RQ4 비볼록 집합 $E$일 때, 유계 $\|F_n(A)\| \leq \gamma^n \cdot \frac{1 + v(E)}{1 - \gamma^{n+1}v(E)}$의 상수들이 집합 $E$의 기하학적 특성에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 Elman 유계와 그 일반화된 형태들이 비볼록 집합에 대한 새로운 프레임워크의 극한 경우로 복원되고 정밀화될 수 있는가?

주요 결과

• 볼록 집합 $E_1$이며 $W(A)$를 포함하는 비볼록 렌즈 모양의 집합 $E = \{z \in E_1 : |z| \geq r\}$에 대해, 조건 $1/r \geq \|A^{-1}\|$ 하에 $\|F_n(A)\| \leq 1 + v(E)$ 유게가 성립한다.
• 조건 $1/r \geq \max\{|z| : z \in W(A^{-1})\}$ 하에 $\|F_n(A)\| \leq 2v(E)$라는 대안적 유게가 확립되며, 이는 매우 비볼록적인 집합에 대해 $1 + v(E)$ 유게를 초월하는 개선을 가능하게 한다.
• 두 원호로 이루어진 렌즈 모양의 집합에 대해 $\|F_n(A)\| \leq 2 + \frac{4\theta_0}{\pi}$를 도출하였으며, 여기서 $\theta_0$는 외부 원호의 중심에서 볼 수 있는 각도이다.
• 스펙트럼 반경 파라미터 $\gamma = 1/|\Phi(0)|$에 대한 명시적 공식을 유도하였으며, $\gamma = \frac{\sin\left(\frac{\pi \arg a}{2\pi - \theta_1 + \theta_0}\right)}{\sin\left(\frac{\pi(\pi + \theta_0 - \arg a)}{2\pi - \theta_1 + \theta_0}\right)}$로 표현되며, 이는 Krylov 방법의 수렴 속도를 제어한다.
• 새로운 유게는 Elman 유게와 그 최근 확장들을 일반화하고 정밀화하며, $c_0 \to -\infty$ 및 $\theta_0 \to 0$일 때 이들의 극한 경우로 복원된다.
• 이 프레임워크는 스펙트럼 집합 $E$의 기하학적 파라미터로 모든 상수를 표현함으로써 GMRES 및 관련 Krylov 방법에 대한 완전히 명시적인 오차 유게를 가능하게 한다.