[논문 리뷰] Facilitated exclusion process and Pfaffian Schur processes

Jinho Baik, Guillaume Barraquand외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 02.

Random Matrices and Applications참고 문헌 52인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일차원 격자 위의 배제과정인 Facilitated TASEP를 Pfaffian Schur 과정을 통해 반분면 내 마지막 도착 시간 문제로 매핑하여 연구한다. 오른쪽 끝 입자의 위치는 세제곱근 스케일에서 Tracy-Widom GSE 통계를 보이며, 희박한 영역 내의 밀도 변화 영역에서의 변동은 GUE 통계를 따르며, 임계 스케일링 하에서 대각선 근처에서 GUE, GOE, GSE 간의 보편적 교차가 발생한다.

ABSTRACT

We study the Facilitated TASEP, an interacting particle system on the one dimensional integer lattice. We prove that starting from step initial condition, the position of the rightmost particle has Tracy Widom GSE statistics on a cube root time scale, while the statistics in the bulk of the rarefaction fan are GUE. This uses a mapping with last-passage percolation in a half-quadrant, which we study using the formalism of Pfaffian Schur processes. For the model with exponential weights, we prove that the fluctuations of the last passage time to a point on the diagonal are either Tracy-Widom GSE distributed, Tracy-Widom GOE distributed, or Gaussian, depending on the size of weights along the diagonal. Away from the diagonal, the fluctuations of passage times follow the GUE Tracy-Widom distribution. We also obtain a two-dimensional crossover between GUE, GOE and GSE distribution by studying the multipoint distribution of last passage times close to the diagonal when the size of the diagonal weights is simultaneously scaled close to the critical point. We expect that this crossover arises universally in KPZ growth models in half-space. In terms of interacting particle systems, our results further probe the question of how first particles fluctuate for exclusion processes with downward jump discontinuities in their limiting density profiles. Through the Facilitated TASEP and a previously studied MADM exclusion process we deduce that cube-root time fluctuations seem to be a common feature of such systems. However, the statistics which arise are shown to be model dependent (here they are GSE, whereas for the MADM exclusion process they are GUE).

연구 동기 및 목표

• 적분 가능 확률 도구를 사용하여 단계 초기 조건 하에서 Facilitated TASEP의 변동 통계를 분석하는 것.
• 입자 시스템을 반분면 내 마지막 도착 시간 문제로 매핑하여 Pfaffian Schur 과정 형식을 활용하는 것.
• 특히 대각선 근처에서 마지막 도착 시간의 보편적 행동, 특히 GUE, GOE, GSE 분포 간의 교차를 규명하는 것.
• 밀도 프로파일에 하향 단절점이 있는 배제 과정에서 첫 번째 입자 변동의 행동을 조사하는 것.
• Facilitated TASEP의 통계적 행동을 MADM 배제 과정과 비교하여, 세제곱근 스케일 변동의 성격을 분석하는 것.

제안 방법

• 반분면 내 지수 가중치를 가진 마지막 도착 시간 문제를 분석하기 위해 Pfaffian Schur 과정 형식을 사용하는 것.
• Facilitated TASEP와 마지막 도착 시간 문제 사이의 매핑을 통해 변동 결과를 입자 시스템으로 이 trasfer하는 것.
• 특히 대각선 근처에서의 도착 시간에 대한 점근적 분석을 수행하며, 대각선 가중치의 임계 스케일링 하에서 수행하는 것.
• 대각선 근처의 다수의 마지막 도착 시간의 공동 분포를 유도하여 GUE, GOE, GSE 법칙 간의 교차를 관찰하는 것.
• 기존의 Pfaffian 및 결정론적 점과정 결과를 활용하여 한계 분포를 특성화하는 것.
• Tracy-Widom 분포를 기준 법으로 삼아 시스템의 다양한 영역에서의 점근적 변동을 분류하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단계 초기 조건 하에서 Facilitated TASEP의 오른쪽 끝 입자의 변동 통계는 무엇인가?
• RQ2 반분면 내 마지막 도착 시간의 변동은 대각선 가중치의 크기에 어떻게 의존하며, 어떤 보편적 교차 행동이 나타나는가?
• RQ3 밀도 프로파일에 하향 단절점이 있는 배제 과정에서 첫 번째 입자 변동은 보편적으로 세제곱근 스케일 통계를 따르는가?
• RQ4 Facilitated TASEP의 통계적 행동은 MADM 배제 과정과 비교해 볼 때, 어떤 Tracy-Widom 법칙을 나타내는가?
• RQ5 반공간에서의 KPZ 성장 모델에서 마지막 도착 시간 문제에서 GUE, GOE, GSE 통계 간의 전이를 보편적으로 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 단계 초기 조건에서 시작하는 Facilitated TASEP의 오른쪽 끝 입자의 위치는 세제곱근 시간 스케일에서 Tracy-Widom GSE 통계를 따른다.
• Facilitated TASEP의 희박한 영역 내의 밀도 변화 영역에서의 변동은 Tracy-Widom GUE 법칙을 따르며.
• 지수 가중치의 경우, 대각선 점으로의 마지막 도착 시간은 대각선 가중치의 크기에 따라 Tracy-Widom GSE, GOE, 또는 정규분포가 된다.
• 대각선에서 벗어난 영역에서는 마지막 도착 시간의 변동이 Tracy-Widom GUE 분포를 따른다.
• 대각선 가중치를 임계점으로 수축시키는 스케일링 하에서, GUE, GOE, GSE 분포 간의 이차원적 교차가 관찰되며, 이는 반공간 KPZ 모델에서의 보편적 행동을 시사한다.
• 이 연구는 세제곱근 스케일 변동이 밀도 프로파일에 하향 단절점이 있는 배제 과정에서 공통적인 특징임을 확인하였으며, 한계 통계는 모델에 따라 다를 수 있음을 밝혔다(GSE 여기서, MADM에서는 GUE).