[논문 리뷰] Factor analysis in high dimensional biological data with dependent observations

Chris McKennan|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 23.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 종속 관측치와 요인 간 이질적인 신호 강도를 가진 생물학적 데이터를 위한 새로운 고차원 인자 분석 프레임워크를 제안한다. 고유값 그림자 현상과 광범위한 인자 가정의 편향을 극복하는 강력한 인자 수 추정기법을 도입하여 종단적, 다중조직, 다중치료 데이터에서 정확한 부분공간 복원, 노이즈 제거, 잠재 인자 해석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Factor analysis is a critical component of high dimensional biological data analysis. However, modern biological data contain two key features that irrevocably corrupt existing methods. First, these data, which include longitudinal, multi-treatment and multi-tissue data, contain samples that break critical independence requirements necessary for the utilization of prevailing methods. Second, biological data contain factors with large, moderate and small signal strengths, and therefore violate the ubiquitous "pervasive factor" assumption essential to the performance of many methods. In this work, I develop a novel statistical framework to perform factor analysis and interpret its results in data with dependent observations and factors whose signal strengths span several orders of magnitude. I then prove that my methodology can be used to solve many important and previously unsolved problems that routinely arise when analyzing dependent biological data, including high dimensional covariance estimation, subspace recovery, latent factor interpretation and data denoising. Additionally, I show that my estimator for the number of factors overcomes both the notorious "eigenvalue shadowing" problem, as well as the biases due to the pervasive factor assumption that plague existing estimators. Simulated and real data demonstrate the superior performance of my methodology in practice.

연구 동기 및 목표

• 기존의 인자 분석 방법이 독립 표본과 광범위한 인자를 가정하는 데서 비롯되는 심각한 격차를 해결하며, 이는 현대의 고차원 생물학적 데이터에서 위반된다.
• 오차 행렬의 행이 상관될 수 있지만 고유값이 유계인 경우에 대해 종속 관측치 하에서 통계적으로 타당한 인자 분석 프레임워크를 개발한다.
• 신호 강도가 여러 계급에 걸쳐 다양할 경우에도 잠재 인자의 수, 로딩, 인자를 정확하게 추정할 수 있도록 한다.
• 기존의 추정기법이 광범위한 인자 가정과 고유값 그림자 현상으로 인해 중간 및 약한 인자를 회복하지 못하는 한계를 극복한다.
• 복잡한 데이터 구조에서의 데이터 노이즈 제거, 공분산 추정, 잠재 생물학적 변동의 해석을 가능하게 하여 후속 생물학적 추론을 지원한다.

제안 방법

• 관측 데이터 행렬 $\bm{Y}$ 가 $\bm{L}\bm{C}^\top + \bm{E}$ 로 분해되는 일반적인 인자 모델을 제안하며, $\bm{V}_g$ 에서 고유값이 유계인 종속 오차 구조를 허용한다.
• 두 단계 추정 절차를 도입: 먼저 종속성을 고려하기 위해 변환된 데이터 행렬에 대해 수정된 주성분 분석을 수행하여 인자 공간을 추정한다.
• 고유값 비율을 활용하고, 신호 강도 이질성에 강건한 인자 수 $K$ 를 위한 회전 기반 추정기법을 제안한다.
• 유니터리 변환과 랜덤 행렬 이론을 활용한 레버리지 점수 제어를 통해 종속성 하에서도 인자 로딩과 스코어의 일致한 추정을 보장한다.
• 고차원 설정에서 분산 추정을 안정화하기 위해 공분산 행렬 $\hat{\bm{\Sigma}}$ 에 대각 보정을 통합한다.
• 공인자 전개 논리와 하중 수열 꼬리 경계를 활용하여 추정된 인자와 로딩의 점근 정규성 및 일致성의 이론적 유도를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표본이 종속적일 경우, 기존 방법이 가정하는 i.i.d. 조건을 위반하는 고차원 생물학적 데이터에서 어떻게 신뢰할 수 있는 인자 분석을 수행할 수 있는가?
• RQ2 신호 강도가 크게, 중간, 작게 다양할 경우에도 정확하게 인자 수를 추정할 수 있는 인자 모델을 개발할 수 있는가? 이는 광범위한 인자 가정의 함정을 피할 수 있는가?
• RQ3 제안된 $K$ 의 추정기법이 고차원 데이터에서 흔히 발생하는 고유값 그림자 현상을 어느 정도 극복하는가?
• RQ4 종속성과 이질적인 신호 강도 하에서도 제안된 방법이 잠재 인자와 로딩을 일관되게 복원할 수 있는가? 기존의 PCA 기반 추정기법과 비교해 볼 때 어떤가?
• RQ5 복잡한 종속성 구조가 존재하더라도, 제안된 프레임워크는 eQTL/meQTL 연구에서 효과적인 데이터 노이즈 제거와 향상된 추론을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 제안된 인자 수 $K$ 의 추정기법은 일관성 있고 고유값 그림자 현상과 광범위한 인자 가정에 강건하며, 시뮬레이션과 실제 데이터에서 기존 방법을 능가한다.
• 기존의 추정기법이 $\lambda_K \to \infty$ 라는 가정에 의존하는 것을 피함으로써 중간 및 약한 인자를 성공적으로 복원한다.
• 레버리지 점수와 고유값 비율의 철저한 제어 덕분에 종속성 하에서도 $O_P(n^{-1/2})$ 수렴 속도를 확보한 인자 공간 추정기법을 구현한다.
• 일반적인 종속성 구조 하에서도 이론적 보장을 제공하며 고차원 공분산 추정과 부분공간 복원을 정확하게 수행할 수 있다.
• 추정된 인자를 활용한 데이터 노이즈 제거가 실제 다중조직 및 종단적 데이터 세트에서 eQTL 및 meQTL 연구의 후속 추론을 향상시킨다.
• 이론적 분석을 통해 $\lambda_K \lesssim 1$ 인 영역에서도 인자 수의 회전 기반 추정기법이 일관성을 유지함을 보였다. 이는 기존 방법이 실패하는 영역이다.