[논문 리뷰] Factorability, String Rewriting and Discrete Morse Theory

Alexander Heß, Viktoriya Ozornova|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 모노이드에서의 인수 가능성과 이산 모스 이론 사이의 연결고리를 설정하며, 인수 가능 모노이드가 바르 복합체 위의 매칭을 통해 그 호몰로지를 계산하는 작은 체인 복합체를 갖는다는 것을 보여준다. 주요 기여는 임의의 생성 체계를 갖는 모노이드에 대해 유효한 인수 가능성 구조에서 유도된 정규형을 이용한 이러한 복합체의 일반적 구성과, 관련된 재귀 시스템이 항상 노에테리안이 아니라는 증명이다. 다만 아르틴 모노이드와 가르시드 군과 같은 중요한 경우에서는 노에테리안이다.

ABSTRACT

This article deals with the notion of factorability. Elements of a factorable group or monoid possess a normal form, which leads to a small complex homotopy equivalent to its bar complex, thus computing its homology. We investigate the relations to string rewriting and to discrete Morse theory on the bar complex. Furthermore, we describe a connection between factorability and Garside theory.

연구 동기 및 목표

• 모노이드의 바르 복합체에서 인수 가능성, 문자열 재귀 시스템, 그리고 이산 모스 이론 간의 관계를 조사하는 것.
• 보디게이머와 비시의 대칭군에 대한 호몰로지 계산 프레임워크를 임의의 생성 체계를 갖는 일반 모노이드로 확장하는 것.
• 가르시드 이론의 맥락에서 인수 가능성 구조와 관련된 재귀 시스템이 노에테리안이 되는 조건을 명확히 하는 것.
• 아르틴 모노이드와 특정 가르시드 군을 포함한 광범위한 모노이드 클래스에 인수 가능성 구조가 존재함을 보여주는 것.
• 조합론적 군 및 모노이드 이론에서 호몰로지 계산을 위한 인수 가능성, 재귀 시스템, 이산 모스 이론을 통합하는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 모노이드에서 지오데식 정규형과 곱셈과의 호환성을 보장하는 공리들을 만족하는 인수 가능성 구조를 정의한다.
• 인수 가능 모노이드에서 생성자 쌍의 불안정 쌍을 이용해 작은 체인 복합체를 구성하며, 기저 원소는 $[m_n | \tfrac{}{} \tfrac{}{} \tfrac{}{} \tfrac{}{} \tfrac{}{} \tfrac{}{} m_1]$ 형태이며, $(m_{i+1}, m_i)$ 가 불안정일 때를 의미한다.
• 모노이드의 바르 복합체에 이산 모스 이론을 적용하여, 인수 가능성 구조에 의해 유도된 매칭이 호모토피 동치인 작은 복합체를 만든다는 것을 보여준다.
• 유도된 체인 복합체가 모노이드의 호몰로지를 계산한다는 것을 증명하며, 비시와 웡의 결과를 임의의 생성 체계를 갖는 모노이드로 일반화한다.
• 좌측 노에테리안성과 최소 공통 좌측 곱셈 닫힘성을 이용해 관련 재귀 시스템이 완전하고 노에테리안이 되는 조건을 설정한다.
• 특히 비유일성 정규형에 관련된 반례 증명에서의 대칭 케이스를 줄이기 위해, $\gamma$ 라는 호모토피 변환 지도를 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모노이드에 대한 인수 가능성 구조가 노에테리안 재귀 시스템을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 인수 가능성 구조는 모노이드의 바르 복합체에서 이산 모스 이론과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 정규형에서 유도된 작은 체인 복합체를 통해 모노이드의 호몰로지를 계산할 수 있는가?
• RQ4 아르틴 모노이드나 가르시드 군과 같은 특정 생성 집합에 대해 인수 가능성 구조를 갖는 모노이드의 클래스는 무엇인가?
• RQ5 유한하고 우측 취소 가능 모노이드일지라도 재귀 시스템이 노에테리안이 되지 않는 이유는 무엇이며, 어떤 구조적 성질이 이를 방지하는가?

주요 결과

• 인수 가능 모노이드 $(M, \\(mathcal{E}, \eta)$ 는 기저 원소가 $m_i \in \mathcal{E} \setminus \{1\}$ 이고, 인접한 쌍 $(m_{i+1}, m_i)$ 가 불안정인 형식의 $[m_n | \ldots | m_1]$ 으로 이루어진 작은 체인 복합체 $(\mathbb{V}_*, \partial^\mathbb{V})$ 를 갖으며, 이 복합체는 $M$ 의 호몰로지를 계산한다.
• 인수 가능 모노이드와 관련된 재귀 시스템은 반드시 노에테리안이 아니며, 부록의 반례를 통해 유한하고 우측 취소 가능일지라도 그렇다는 것이 입증된다.
• 만약 $M$ 이 우측 취소 가능하고 좌측 노에테리안이며, 공통 좌측 곱셈을 갖는 두 원소가 최소 공통 좌측 곱셈을 갖는다면, 인수 가능성 구조와 관련된 재귀 시스템은 완전하고 노에테리안이다.
• 정리 12.5의 조건을 만족하는 모노이드의 클래스 — 아르틴 모노이드 포함 — 는 인수 가능성 구조를 갖는다. 이는 기존의 가르시드 군과 대칭군 결과를 일반화한다.
• 모노이드의 인수 가능성 구조는 생성 집합에 따라 결정되며, 예를 들어 대칭군은 전치를 생성자로 하면 인수 가능하지만 단순 전치를 생성자로 하면 그렇지 않다.
• 모노이드 위의 호모토피 변환 $\gamma$ 는 인수 가능성 구조와 매칭을 유지하며, 특히 반례 구성에서 대칭 케이스를 줄이는 데 기여한다.