[논문 리뷰] Factorization for Hardy spaces and characterization for BMO spaces via commutators in the Bessel setting

Xuan Thinh Duong, Ji Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 31.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 베셀 연산자 $\Delta_\lambda$ 와 관련된 리프스 변환 $R_{\Delta_\lambda}$ 를 포함하는 이항형식을 통해 하르디 공간 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 의 약한 인수분해를 확립한다. 이는 $\Delta_\lambda$ 와 관련된 BMO 공간을 교환자들을 통해 특성화한다. 또한, 연산자 $S_\lambda$ 와 관련된 하르디 공간 $H^1_{S_\lambda}$ 에는 그러한 약한 인수분해가 존재하지 않음을 증명하여, $S_\lambda$ 의 BMO 공간이 $R_{S_\lambda}$ 와의 교환자들을 통해 특성화될 수 없다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

Fix $λ>0$. Consider the Hardy space $H^1(\mathbb{R}_+,dm_λ)$ in the sense of Coifman and Weiss, where $\mathbb{R_+}:=(0,\infty)$ and $dm_λ:=x^{2λ}dx$ with $dx$ the Lebesgue measure. Also consider the Bessel operators $Δ_λ:=-\frac{d^2}{dx^2}-\frac{2λ}{x} \frac d{dx}$, and $S_λ:=-\frac{d^2}{dx^2}+\frac{λ^2-λ}{x^2}$ on $\mathbb{R_+}$. The Hardy spaces $H^1_{Δ_λ}$ and $H^1_{S_λ}$ associated with $Δ_λ$ and $S_λ$ are defined via the Riesz transforms $R_{Δ_λ}:=\partial_x (Δ_λ)^{-1/2}$ and $R_{S_λ}:= x^λ\partial_x x^{-λ} (S_λ)^{-1/2}$, respectively. It is known that $H^1_{Δ_λ}$ and $H^1(\mathbb{R}_+,dm_λ)$ coincide but they are different from $H^1_{S_λ}$. In this article, we prove the following: (a) a weak factorization of $H^1(\mathbb{R}_+,dm_λ)$ by using a bilinear form of the Riesz transform $R_{Δ_λ}$, which implies the characterization of the BMO space associated to $Δ_λ$ via the commutators related to $R_{Δ_λ}$; (b) the BMO space associated to $S_λ$ can not be characterized by commutators related to $R_{S_λ}$, which implies that $H^1_{S_λ}$ does not have a weak factorization via a bilinear form of the Riesz transform $R_{S_λ}$.

연구 동기 및 목표

• 하르디 공간 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 의 약한 인수분해를 베셀 연산자 $\Delta_\lambda$ 와 관련된 리프스 변환 $R_{\Delta_\lambda}$ 를 이용하여 확립하기.
• 리프스 변환 $R_{\Delta_\lambda}$ 와 관련된 교환자들을 통해 $\Delta_\lambda$ 와 관련된 BMO 공간을 특성화하기.
• $S_\lambda$ 와 관련된 하르디 공간 $H^1_{S_\lambda}$ 가 그 리프스 변환 $R_{S_\lambda}$ 의 이항형식을 통해 약한 인수분해를 갖는지 조사하기.
• $S_\lambda$ 와 관련된 BMO 공간이 리프스 변환 $R_{S_\lambda}$ 와의 교환자들을 통해 특성화될 수 있는지 결정하기.

제안 방법

• 리프스 변환 $R_{\Delta_\lambda} = \partial_x (\Delta_\lambda)^{-1/2}$ 를 사용하여 하르디 공간 $H^1_{\Delta_\lambda}$ 를 정의하고 Coifman-Weiss의 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 와 연관시킨다.
• 함수 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 를 표현하기 위해 이항형식 $\Pi_{\Delta_\lambda}(g,h) = g R_{\Delta_\lambda} h - h \widetilde{R_{\Delta_\lambda}} g$ 를 통한 약한 인수분해 기법을 적용한다.
• 하르디 공간 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 와 $\Delta_\lambda$ 와 관련된 BMO 공간 사이의 딱딱한 대응을 이용하여 교환자 노름과 BMO 반노름을 연결한다.
• $b_0(x) = \log x$ 를 사용한 반례를 구성하여 $b_0 \in \text{BMO}(\mathbb{R}_+, dx)$ 이지만 $b_0 \notin \text{BMO}_o(\mathbb{R}_+, dx)$ 이며, $\text{BMO}_o(\mathbb{R}_+, dx)$ 는 $H^1_{S_\lambda}$ 와 쌍대인 BMO 공간임을 보여준다.
• $b \in \text{BMO}(\mathbb{R}_+, dx)$ 이면 $[b, R_{S_\lambda}]$ 가 $L^p(\mathbb{R}_+, dx)$ 에서 유계임을 이용하여, 만약 $H^1_{S_\lambda}$ 가 약한 인수분해를 갖는다면 모순이 발생함을 도출한다.
• Calderón–Zygmund 연산자 이론과 Coifman, Rochberg, Weiss의 교환자 및 인수분해에 관한 고전적 결과를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하르디 공간 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 는 리프스 변환 $R_{\Delta_\lambda}$ 의 이항형식을 통해 약하게 인수분해될 수 있는가?
• RQ2 $\Delta_\lambda$ 와 관련된 BMO 공간은 리프스 변환 $R_{\Delta_\lambda}$ 와의 교환자들을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ3 $S_\lambda$ 와 관련된 하르디 공간 $H^1_{S_\lambda}$ 는 리프스 변환 $R_{S_\lambda}$ 의 이항형식을 통해 약하게 인수분해될 수 있는가?
• RQ4 $S_\lambda$ 와 관련된 BMO 공간은 리프스 변환 $R_{S_\lambda}$ 와의 교환자들을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ5 교환자 $[b, R_{S_\lambda}]$ 가 $L^p$ 에서 유계이지만, $b$ 가 $H^1_{S_\lambda}$ 와 쌍대인 BMO 공간에 속하지 않는 함수 $b$ 가 존재하는가?

주요 결과

• 하르디 공간 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 는 리프스 변환 $R_{\Delta_\lambda}$ 의 이항형식을 통해 약한 인수분해를 갖는다. 이는 $\Delta_\lambda$ 와 관련된 BMO 공간이 $R_{\Delta_\lambda}$ 와의 교환자들을 통해 특성화될 수 있음을 암시한다.
• $S_\lambda$ 와 관련된 BMO 공간은 $R_{S_\lambda}$ 와의 교환자들을 통해 특성화될 수 없다. 반례 $b_0(x) = \log x$ 는 $\text{BMO}(\mathbb{R}_+, dx)$ 에 속하지만 $\text{BMO}_o(\mathbb{R}_+, dx)$ 에 속하지 않음을 보여준다.
• $b_0(x) = \log x$ 는 $1 < p < \infty$ 에 대해 $\|[b_0, R_{S_\lambda}]\|_{L^p \to L^p} < \infty$ 를 만족하지만, $\|b_0\|_{\text{BMO}_o(\mathbb{R}_+, dx)} = \infty$ 이므로, 교환자 노름이 BMO$_o$ 반노름을 제어하지 못함을 보여준다.
• BMO$_o$ 특성화의 실패는 $H^1_{S_\lambda}$ 가 $R_{S_\lambda}$ 의 이항형식을 통해 약한 인수분해를 갖지 못함을 암시한다.
• $H^1_{\Delta_\lambda}$ 와 $H^1(\mathbb{R}_+, dm_\lambda)$ 는 동일하지만, $H^1_{S_\lambda}$ 는 다르며 $\Delta_\lambda$ 경우에 존재하는 인수분해 구조를 갖지 못한다.
• 결과는 두 베셀형 미분 연산자 $\Delta_\lambda$ 와 $S_\lambda$ 간에 하르디 공간과 BMO 공간의 구조적 차이를 드러내며, 이는 두 연산자가 모두 베셀형 연산자임에도 불구하고 본질적인 차이를 가짐을 시사한다.