[논문 리뷰] Factorization of a class of Toeplitz + hankel operators and the A_p-condition

Estelle Basor, Torsten Ehrhardt|ArXiv.org|2004. 04. 20.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 6인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 하드리 스페이스 $ H^p(\mathbb{T}) $ 위에서 토피트츠 플러스 한켈 연산자에 대한 역행성과 프레드홀름 성질이 생성 함수 $ \phi $ 의 인수분해로부터 유도된 특정 함수 $ \sigma $ 에 대한 $ A_p $-조건과 동치임을 증명한다. 주요 기여는 비대칭 인수분해에 필요한 추가 조건이 $ [-1,1] $ 에서 고전적인 헌트-무켄하우프트-위든 $ A_p $-조건과 동치임을 보여주며, 조각연속 함수 $ \phi $ 에 대해 역행성의 완전한 특성화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let $M(ϕ)=T(ϕ)+H(ϕ)$ be the Toeplitz plus Hankel operator acting on $H^p(\T)$ with generating function $ϕ\in L^\iy(\T)$. In a previous paper we proved that $M(ϕ)$ is invertible if and only if $ϕ$ admits a factorization $ϕ(t)=ϕ_{-}(t)ϕ_{0}(t)$ such that $ϕ_{-}$ and $ϕ_{0}$ and their inverses belong to certain function spaces and such that a further condition formulated in terms of $ϕ_{-}$ and $ϕ_{0}$ is satisfied. In this paper we prove that this additional condition is equivalent to the Hunt-Muckenhoupt-Wheeden condition (or, $A_{p}$-condition) for a certain function $σ$ defined on $[-1,1]$, which is given in terms of $ϕ_{0}$. As an application, a necessary and sufficient criteria for the invertibility of $M(ϕ)$ with piecewise continuous functions $ϕ$ is proved directly. Fredholm criteria are obtained as well.

연구 동기 및 목표

• 하드리 스페이스 $ H^p(\mathbb{T}) $ 위에서 $ 1 < p < \infty $ 인 토피트츠 플러스 한켈 연산자 $ M(\phi) $ 의 역행성에 대한 필요충분조건을 확립하는 것.
• 비대칭 인수분해에서 $ \phi $ 에 요구되는 추가 조건이 $ [-1,1] $ 에서 헌트-무켄하우프트-위든 $ A_p $-조건과 동치임을 증명하는 것.
• 조각연속 함수 $ \phi $ 에 대해 $ M(\phi) $ 에 대한 직접적이고 완전한 프레드홀름 기준을 $ A_p $-조건을 핵심 도구로 사용하여 제공하는 것.
• 인수분해 성분의 윈딩 수를 이용해 $ M(\phi) $ 의 프레드홀름 지수를 특성화하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $ \phi \in L^\infty(\mathbb{T}) $ 의 일반화된 비대칭 인수분해를 사용하여, $ \phi(t) = \phi_{-}(t)t^{\varkappa}\phi_{0}(t) $ 라는 형태로 분해하며, $ \phi_{-} $, $ \phi_{0} $ 와 그 역행의 적분성 및 가역성 조건을 부여한다.
• 그들은 밀도 있는 부분공간 $ X_1 \subset L^p(\mathbb{T}) $ 에서 작용하는 선형 연산자 $ B = L(\phi_{0}^{-1})(I+J)PL(\phi_{-}^{-1}) $ 를 정의하고, 이 연산자의 $ L^p(\mathbb{T}) $ 에로의 유계 확장을 인수분해 조건의 일부로 요구한다.
• 핵심 기술적 단계는 $ B $ 의 유계성과 $ [-1,1] $ 에 정의된 함수 $ \sigma $ 에 대한 $ A_p $-조건이 동치임을 보이는 것으로, 이 $ \sigma $ 는 인수분해에서의 $ \phi_0 $ 와 복소 지수의 실수부로부터 구성된다.
• 저자들은 토피트츠 및 한켈 연산자의 알려진 항등식을 활용하여 기호 $ \phi $ 를 $ b(t) $, $ \psi(t) $, $ \widetilde{\psi}(t) $ 를 포함하는 형태로 변환함으로써 $ A_p $-조건을 적용한다.
• 인수분해의 지수 $ \beta $ 에 대한 변형을 통한 펌터베이션 기법을 사용하여, $ A_p $-조건의 엄밀한 부등식이 필수적임을 증명하며, 등식이 성립할 경우 프레드홀름 지수에서 모순이 발생함을 보인다.
• 증명은 함수해석학 기법, 원 위의 조화해석학, 특히 무게 함수 이론인 $ A_p $-이론을 포함한 가중 노름 부등식을 통합적으로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭 인수분해에서 $ M(\phi) $ 에 요구되는 추가 유계성 조건은 $ [-1,1] $ 에서의 $ A_p $-조건과 동치인가?
• RQ2 조각연속 기호에 대해 $ M(\phi) $ 의 역행성과 프레드홀름 성질이 직접적으로 $ A_p $-조건을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ3 $ M(\phi) $ 의 프레드홀름 지수와 인수분해 성분의 윈딩 수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 $ A_p $-조건은 토피트츠 플러스 한켈 연산자의 구조적 성질을 인수분해를 통해 자연스럽게 유도하는가?

주요 결과

• 비대칭 인수분해에 요구되는 추가 조건은 $ \phi_0 $ 와 인수분해에서의 지수 실수부로부터 유도된 함수 $ \sigma $ 에 대해 $ [-1,1] $ 에서 헌트-무켄하우프트-위든 $ A_p $-조건과 동치이다.
• 조각연속 함수 $ \phi $ 에 대해, 연산자 $ M(\phi) $ 는 $ \phi $ 가 비대칭 인수분해를 가지며 관련 함수 $ \sigma $ 가 $ A_p $-조건을 만족할 때이고 그때에만 프레드홀름이다.
• $ M(\phi) $ 의 프레드홀름 지수는 $ -\mathrm{wind}(b) $ 와 같으며, 여기서 $ b $ 는 기호 $ \phi $ 의 연속적이고 영이 아닌 부분이고, 이 지수는 인수분해에서의 지수 $ \varkappa $ 와 일치한다.
• 지수 $ \beta $, $ \beta_r $, $ \beta^+ $, $ \beta^- $ 의 실수부에 대한 엄밀한 부등식의 필요성은 펌터베이션 기법을 통해 증명되며, 등식이 성립할 경우 소규모 변형 하에서 프레드홀름 지수에 모순이 발생함을 보였다.
• $ A_p $-조건은 기호를 $ \sigma_0(x) $, $ (1-x)^{-\mathrm{Re\,}\beta^+ - 1/2p} $, $ (1+x)^{-\mathrm{Re\,}\beta^- + 1/2q} $, 그리고 $ |x - \cos\theta_r|^{-\mathrm{Re\,}\beta_r^+ - \mathrm{Re\,}\beta_r^-} $ 의 곱들로 포함하는 곱형태로 변환하여 확인하며, 이는 레마 3.1을 적용함으로써 이루어진다.