[논문 리뷰] Factorization of denominators in integration-by-parts reductions

Johann Usovitsch|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 19.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 25인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 적분별로 분할(IBP) 감소 계수의 분모에 차원 정규화 매개변수 $d$ 가 인수분해되는 마스터 적분 기저를 계산하는 Mathematica 패키지 findFactorizedBasis.m 을 소개한다. 수치적 샘플링과 반복적인 기저 교체를 통해 운동량 독립적인 다항식 구조를 활용함으로써, 계산 복잡도를 감소시키고 결과 표의 크기를 반으로 줄이며, 유한체 기법을 통한 더 빠른 대수적 재구성 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present a Mathematica package which finds a basis of master integrals for the Feynman integral reduction. In this basis the dependence on the dimensional regularization in the denominators factorizes in kinematic independent polynomials.

연구 동기 및 목표

• 다중 루프 파인만 적분에서 적분별로 분할(IBP) 감소의 계산 복잡도를 줄이는 것.
• 감소 계수의 분모에 차원 정규화 매개변수 $d$ 가 인수분해되는 마스터 적분 기저를 개발하는 것.
• 분모의 해석적 구조를 단순화하여 대수적 재구성의 효율성을 높이는 것.
• 사전에 전체 해석적 구조를 알지 못한 채 분모 조립 블록을 자동으로 식별함으로써, 효율적인 IBP 감소를 지원하는 것.

제안 방법

• 운동량 불변량과 질량에 대해 서로 다른 수치를 사용하여 두 번의 IBP 감소를 수행하여 $d$-의존성 분모 조립 블록을 식별한다.
• 다른 부호를 가지지 않는 $d$-의존성 항을 비교함으로써 후보 분모 다항식 집합 $R$ 을 구성한다.
• 최상위 섹터의 마스터 적분을 교체하여 분자 다항식의 $d$ 에 대한 차수를 최소화하는 반복적 교체 알고리즘을 구현한다.
• 분자 다항식이 운동량 불변량에만 의존하는 구성으로 우선순위를 정하여 $d$-인수분해를 보장한다.
• 알고리즘은 상위 섹터에서 하위 섹터로 내려가며 섹터별로 진행되어, 모든 $d$-의존성이 인수분해될 때까지 수행된다.
• 최종 기저는 모든 분모가 낮은 차수의 $d$ 와 운동량 불변량의 곱으로 인수분해되며, 정수 거듭제곱으로 올라간다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 IBP 감소 계수의 $d$-의존성이 운동량 독립적인 다항식의 곱으로 인수분해되는 마스터 적분 기저를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 다중 루프 진폭 계산에서 계산 비용을 줄이기 위해 분모의 해석적 구조는 어떻게 단순화할 수 있는가?
• RQ3 인수분해된 $d$-의존성은 대수적 재구성과 유한체 기반 IBP 감소의 효율성을 어느 정도 향상시키는가?
• RQ4 전체 해석적 구조를 사전에 알지 못한 채 분모 조립 블록을 자동으로 식별할 수 있는 알고리즘 전략은 무엇인가?

주요 결과

• findFactorizedBasis.m 패키지는 모든 $d$-의존성이 $d$ 와 운동량 불변량의 낮은 차수 다항식의 곱으로 분해되는 마스터 적분 기저를 성공적으로 생성한다.
• 이중 펜타곤 이중 루프 적분의 경우, 분모 인수분해로 인해 최종 감소 표의 크기가 약 50% 감소하였다.
• 분모의 해석적 구조가 이제 명확해져, 몇 개의 수치 샘플만으로도 대수적 재구성이 가능해졌다.
• 도구는 두 가지 비트리비어한 예제에서 검증되었으며, 이는 이중 루프 이중 펜타곤과 삼중 루프 비평면형 형상 인자 적분이다.
• 특히 Kira 와 같은 감소 프로그램과 함께 사용할 경우, 특히 유한체 기법과 결합했을 때 도구의 성능이 향상된다.
• IBP 감소 출력의 유리 함수의 구조가 단순화되어 고정밀 산술과 디스크 저장소의 필요성이 감소한다.