[논문 리뷰] Factorization of weakly continuous holomorphic mappings

Manuel González, Joaqín M. Gutiérrez|arXiv (Cornell University)|1996. 05. 24.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 16인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 복소 벨라흐 공간 간의 약하게 균일 연속적인 해석적 사상에 대한 인수분해 정리를 수립한다: 해석적 사상은 유계 집합에서 약하게 균일 연속일 필요가 충분한 조건은 $ f = g \circ S $ 로 표현되며, 여기서 $ S $ 는 컴팩트 연산자이고 $ g $ 는 해석적이다. 이 결과는 약하게 연속적인 다중선형 사상에 대한 새로운 특성화에 기반하여, 약한 유계 집합에서의 약한 연속성은 더 흐린 위상에서도 약한 균일 연속성을 유도하지만 더 강한 위상에서는 그렇지 않음을 증명함으로써, 아론이 제기한 오랜 숙제를 해결한다.

ABSTRACT

We prove a basic property of continuous multilinear mappings between topological vector spaces, from which we derive an easy proof of the fact that a multilinear mapping (and a polynomial) between topological vector spaces is weakly continuous on weakly bounded sets if and only if it is weakly {\it uniformly\/} continuous on weakly bounded sets. This result was obtained in 1983 by Aron, Hervés and Valdivia for polynomials between Banach spaces, and it also holds if the weak topology is replaced by a coarser one. However, we show that it need not be true for a stronger topology, thus answering a question raised by Aron. As an application of the first result, we prove that a holomorphic mapping $f$ between complex Banach spaces is weakly uniformly continuous on bounded subsets if and only if it admits a factorization of the form $f=g\circ S$, where $S$ is a compact operator and $g$ a holomorphic mapping.

연구 동기 및 목표

• 복소 벨라흐 공간의 유계 부분집합에서 약하게 균일 연속적인 해석적 사상의 특성화.
• 아론이 제기한 질문을 해결한다: 임의의 벡터 위상에서의 연속성이 유계 집합에서의 균일 연속성을 유도하는가?
• 다항식과 다중선형 사상에 대해 알려진 약한 연속성과 약한 균일 연속성의 동치성을 더 일반적인 토폴로지 벡터 공간으로 확장한다.
• 컴팩트성과 약한 균일 연속성에 기반한 해석적 사상에 대한 인수분해 결과를 제공한다.
• 강한 위상에서 이 동치성이 성립하지 않음을 보이며, $ L_1[0,1] $ 에서의 $ ckw $ 위상으로 반례를 제시한다.

제안 방법

• 다중선형 사상의 연속성에 대한 일반 기준을 증명한다: 다중선형 사상은 부분집합에서 연속일 필요가 충분한 조건은 그 부분집합 내의 코시 넷을 코시 넷으로 보낸다.
• 약하게 유계 집합이 약하게 전콤팩트임을 이용하여, 약하게 유계 집합에서의 약한 연속성은 약한 균일 연속성을 유도함을 보인다.
• 약한 위상보다 더 빈틈없는 위상인 $ ckw $ 위상에 기반한 반례를 구성한다. 이 위상은 수렴하는 수열은 동일하지만 더 강한 위상이며, 다항식의 연속성은 균일 연속성을 유도하지 않는다.
• 해석적 사상에 주요 연속성 기준을 적용하기 위해, 동차 다항식의 테일러 급수로 분해한다.
• 기존의 알려진 인수분해 정리의 개선된 버전을 사용하여 각 동차 다항식을 컴팩트 연산자와 약하게 연속적인 다항식으로 인수분해한다.
• 전체 해석적 사상의 인수분해를 구성한다: $ f = g \circ S $, 여기서 $ S $ 는 컴팩트이고 $ g $ 는 해석적이며 유계 집합에서 약하게 균일 연속적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 벡터 위상에서, 바나흐 공간 간의 다항식에 대해 유계 집합에서의 약한 연속성과 약한 균일 연속성이 동치인가?
• RQ2 약한 위상보다 더 흐린 위상에서, 다중선형 사상에 대해 약한 연속성과 약한 균일 연속성의 동치성은 유지되는가?
• RQ3 모든 해석적 사상 중에서 유계 집합에서 약하게 균일 연속적인 것은 컴팩트 연산자와 해석적 사상으로의 인수분해를 거칠 수 있는가?
• RQ4 약한 위상보다 더 강한 위상에서 연속성에서 균일 연속성으로의 함의가 성립하지 않는 반례는 존재하는가?
• RQ5 S 가 컴팩트이고 g 가 해석적일 때, 인수분해 $ f = g \circ S $ 는 유계 집합에서 약하게 균일 연속적인 해석적 사상의 특성화를 완전히 제공하는가?

주요 결과

• 위상 벡터 공간 간의 다중선형 사상은 약하게 유계 집합에서 약하게 균일 연속일 필요가 충분한 조건은 그 집합에서 약하게 연속일 때이다. 이 결과는 약한 위상보다 더 흐린 위상에서 항상 성립한다.
• 강한 위상에서는 약한 연속성과 약한 균일 연속성의 동치성이 성립하지 않는다: $ L_1[0,1] $ 에서의 다항식은 $ ckw $-연속적이지만 $ ckw $-균일 연속적이지 않다.
• 복소 벨라흐 공간 간의 해석적 사상 $ f $ 가 유계 집합에서 약하게 균일 연속적이라면, $ f = g \circ S $ 로 인수분해 가능하며, 여기서 $ S $ 는 컴팩트 연산자이고 $ g $ 는 해석적이다.
• 인수분해는 효과적이다: 임의의 $ \epsilon > 0 $ 에 대해, 각 동차 다항식 성분에 대해 $ \|Q\| \cdot \|S\|^k \leq (1+\epsilon)\|\hat{P}\| $ 이 성립한다.
• 약하게 균일 연속적인 해석적 사상의 테일러 급수는 유한형 다항식으로 균일 근사 가능하며, 기존의 유한형 다항식에 의한 근사 결과를 확장한다.
• 인수분해 $ f = g \circ S $ 는 유계 집합에서의 약한 균일 연속성에 대해 필요이고 충분하며, 이러한 사상의 완전한 특성화를 제공한다.