[논문 리뷰] Fair Allocation of Indivisible Goods: Improvement and Generalization

Mohammad Ghodsi, Mohammad Taghi Hajiaghayi외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 01.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 43인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 추가 설정에서 불가분 물건의 공정 배분에 대한 근사 보장을 기존의 2/3에서 3/4로 향상시켰으며, 가소성, 매칭 배분, 사이클-선호 없음성 등의 새로운 기법을 사용한다. 또한 결과를 서브모듈라, XOS, 서브어드티브 평가로 일반화하여 각각 상수 및 상한 근사 비율을 제공하며, 모든 경우에 다항시간 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

We study the problem of fair allocation for indivisible goods. We use the the maxmin share paradigm introduced by Budish as a measure for fairness. Procaccia and Wang (EC'14) were first to investigate this fundamental problem in the additive setting. In contrast to what real-world experiments suggest, they show that a maxmin guarantee (1-MMS allocation) is not always possible even when the number of agents is limited to 3. While the existence of an approximation solution (e.g. a $1/2$-MMS allocation) is quite straightforward, improving the guarantee becomes subtler for larger constants. Procaccia provide a proof for existence of a $2/3$-MMS allocation and leave the question open for better guarantees. Our main contribution is an answer to the above question. We improve the result of [Procaccia and Wang] to a $3/4$ factor in the additive setting. The main idea for our $3/4$-MMS allocation method is clustering the agents. To this end, we introduce three notions and techniques, namely reducibility, matching allocation, and cycle-envy-freeness, and prove the approximation guarantee of our algorithm via non-trivial applications of these techniques. Our analysis involves coloring and double counting arguments that might be of independent interest. One major shortcoming of the current studies on fair allocation is the additivity assumption on the valuations. We alleviate this by extending our results to the case of submodular, fractionally subadditive, and subadditive settings. More precisely, we give constant approximation guarantees for submodular and XOS agents, and a logarithmic approximation for the case of subadditive agents. Furthermore, we complement our results by providing close upper bounds for each class of valuation functions. Finally, we present algorithms to find such allocations for additive, submodular, and XOS settings in polynomial time.

연구 동기 및 목표

• 불가분 물건의 공정 배분에서 이론적 보장과 실증 관찰 간 격차를 메우기 위해.
• 기존의 2/3를 초월하여 추가 평가에 대해 최고의 알려진 근사 비율을 향상시켜 3/4-MMS 배분을 달성하기 위해.
• 서브모듈라, 분수적 서브어드티브(XOS), 서브어드티브 함수를 포함한 비가산 평가 클래스로 공정성 보장을 확장하기 위해.
• 추가, 서브모듈라 및 XOS 설정에서 공정한 배분을 계산하기 위한 다항시간 알고리즘을 제공하기 위해.
• 각 평가 클래스에 대해 근사 비율의 날카로운 상한을 설정하기 위해.

제안 방법

• 배분의 복잡성을 줄이기 위해 에이전트 군집을 단순화하기 위해 가소성 개념을 도입한다.
• 에이전트 그룹 간의 공정성 보장을 유지하는 방식으로 배분을 수행하기 위해 매칭 기반 배분을 활용한다.
• 순환적 선호 사이클을 방지하고 배분 과정의 안정성을 확보하기 위해 사이클-선호 없음성 정의를 제시한다.
• 색상 기반 분석에서 확률적 및 이중 세기 기법을 사용하여 근사 비율을 상한으로 제한한다.
• 선형 프로그래밍의 이중성과 랜덤 세트 커버리지 기법을 적용하여 서브어드티브 함수 근사의 하한을 유도한다.
• 로그arithmic 근사 요인을 통해 서브어드티브 함수를 XOS 함수로 환원함으로써 더 넓은 클래스로 결과를 확장할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가 평가에 대해 기존의 2/3-MMS 근사 보장을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 서브모듈라 및 XOS 평가에 대해 상수 요인 MMS 근사를 달성할 수 있는가?
• RQ3 불가분 물건의 공정 배분에서 서브어드티브 평가에 대해 가장 좋은 근사 비율은 무엇인가?
• RQ4 비가산 평가 함수에 대한 공정 배분을 위한 다항시간 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 다양한 평가 함수 클래스에 대해 MMS 근사 비율의 날카로운 상한은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 추가 평가에 대해 3/4-MMS 배분을 달성하여 이전의 2/3 보장보다 향상시켰다.
• 서브모듈라 및 XOS 평가에 대해서는 상수 요인 MMS 근사를 제공하며, 정확한 요인은 함수 클래스에 따라 달라진다.
• 서브어드티브 평가에 대해서는 1/(10⌈log m⌉)-MMS 근사를 확립하였으며, 이는 지금까지 알려진 최고의 결과이다.
• 논문은 주어진 알고리즘 프레임워크 하에서 추가 에이전트에 대해 3/4-MMS 보장이 날카로운 상한임을 증명하였다.
• 추가 설정에서 3/4-MMS 배분을 계산하기 위한 다항시간 알고리즘과 서브모듈라 및 XOS 설정에서 상수 요인 MMS 배분을 계산하기 위한 알고리즘을 제공하였다.
• 논문은 서브어드티브 에이전트에 대해 로그arithmic 근사 요인의 상한이 점점 더 날카로워지며, 알려진 상한과 일치함을 증명하였다.