[논문 리뷰] Fair and profitable bilateral prices under funding costs and collateralization

Tianyang Nie, Marek Rutkowski|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 6인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 자금 조달 비용과 콜라터럴화 조건 하에서 장외 파생상품에 대한 공정하고 수익성 있는 이원적 가격 설정 프레임워크를 개발한다. 후행 확률미분방정식(BSDEs)을 사용하여 헤지어와 상대방의 단일 측면 가격을 모델링한다. 주요 기여는 비선형 시장 모델에서 다중 자금 조달 금리와 증거금 계좌를 고려할 때 공정한 이원적 가격의 범위를 유도하고, 초기 자산 보유액에 대한 단일 측면 가격의 단조성(모노토닉리티)을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

Bielecki and Rutkowski (2014) introduced and studied a generic nonlinear market model, which includes several risky assets, multiple funding accounts and margin accounts. In this paper, we examine the pricing and hedging of contract both from the perspective of the hedger and the counterparty with arbitrary initial endowments. We derive inequalities for unilateral prices and we give the range for either fair bilateral prices or bilaterally profitable prices. We also study the monotonicity of a unilateral price with respect to the initial endowment. Our study hinges on results for BSDE driven by continuous martingales obtained in Nie and Rutkowski (2014), but we also derive the pricing PDEs for path-independent contingent claims of European style in a Markovian framework.

연구 동기 및 목표

• 자금 조달 비용과 콜라터럴화 조건이 존재하는 비선형 시장 모델에서 헤지어와 상대방이 비대칭적인 자금 조달 금리와 초기 자산 보유액을 가진 장외 파생상품의 이원적 가격 설정을 분석한다.
• 기존의 무아웃저지 가격 이론을 비영인 초기 자산 보유액을 포함시켜 확장함으로써, 비선형 설정에서 단일 측면 가격에 영향을 미치는 요소를 분석한다.
• 공정한 이원적 가격 범위와 양측 모두가 수익을 얻는 거래 조건을 도출하여, 양측이 상호 이득을 얻고도 무아웃저지 조건을 만족시키는지를 확보한다.
• 고전적 모델의 선형성 가정에 도전하여, 각 당사자의 초기 자산 보유액에 대한 단일 측면 가격의 단조성을 확립한다.
• 마코비안이고 경로에 독립적인 유럽식 옵션 프레임워크에서 가격 설정 및 헤지 전략을 PDE 기반으로 특성화한다.

제안 방법

• 부분적 정산이 가능한 시장 모델을 정형화하고, 대출 및 차입 금리가 다른 다중 자금 조달 계좌와 외생적인 증거금 계좌를 통한 콜라터럴화를 포함한다.
• 지속적인 마틴갈 확률미분방정식(BSDEs)을 사용하여 양측의 가격 설정 및 헤지 문제를 모델링한다.
• 적절히 선택된 마틴갈 측도를 사용한 무아웃저지 추론에 기반하여 일반 조건 하에서 BSDE 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 마코비안 설정에서 비선형 펜만갈라 공식을 통해 경로에 독립적인 유럽형 지급 조건에 대한 준선형 PDE를 도출한다.
• 부드러운 계수를 갖지 않는 경우에도 적용 가능한 볼루션 해 이론을 활용하여, PDE가 고전적 해가 존재하지 않을 경우에도 가격을 특성화함을 보장한다.
• BSDE 해와 PDE 기반 헤지 포지션을 이용하여 헤지어와 상대방에 대한 명시적 복제 전략을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 시장에서 자금 조달 비용이 존재할 경우, 비영인 초기 자산 보유액은 헤지어와 상대방의 단일 측면 공정 가격에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 콜라터럴화가 이루어지고 비선형 거래 조건이 존재할 때, 양측 모두에게 공정하고 수익성 있는 이원적 가격의 범위는 무엇인가?
• RQ3 어떤 조건에서 단일 측면 가격이 당사자의 초기 자산 보유액에 대해 단조적으로 변화하는가?
• RQ4 자금 조달 비용과 콜라터럴화를 고려할 경우, 유럽형 지급 조건에 대한 가격 PDE는 어떻게 달라지며, 선형 경우에 어떻게 블랙-숄즈 PDE로 수렴하는가?
• RQ5 PDE가 부드럽지 않을 경우, BSDE 접근법이 해의 확률적 표현을 제공할 수 있으며, 이는 고전적 PDE 방법과 비교해 어떻게 다를 수 있는가?

주요 결과

• 헤지어의 단일 측면 가격은 그의 초기 자산 보유액 $x_1$에 의존하며, 마찬가지로 상대방의 가격은 $x_2$에 따라 달라지며, 이는 고전적 모델의 영자산 보유 가정을 부정한다.
• 콜라터럴화가 이루어지지 않거나 부분적으로 이루어지는 조건에서는 공정한 이원적 가격이 존재하며, 상대방의 단일 측면 가격(하한)과 헤지어의 단일 측면 가격(상한) 사이의 범위 내에 존재한다.
• 헤지어의 단일 측면 가격이 상대방의 것을 초과할 경우에만 이원적으로 수익성이 있는 가격이 존재하며, 이 조건은 양측이 모두 수익을 얻고도 무아웃저지가 발생하지 않는 거래가 존재함을 의미한다.
• 마코비안 프레임워크에서 헤지어와 상대방의 배당 후 가격은 각각 다른 준선형 PDE(식 5.34 및 5.39)로 특성화되며, 이는 각 당사자의 초기 자산 보유액에 따라 달라진다.
• 자금 조달 금리가 동일할 경우($r^l = r^b = r$), PDE는 고전적인 블랙-숄즈 PDE(식 5.42)로 축소되며, 선형 경우와의 일致성을 확인한다.
• 고전적 부드러움 조건이 없더라도 PDE의 볼루션 해는 관련된 BSDE의 유일한 해와 일치하며, 이는 가격 설정 프레임워크의 강건성을 보장한다.