[논문 리뷰] Fair Correlation Clustering in Forests

Katrin Casel, Tobias Friedrich외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Explainable Artificial Intelligence (XAI)인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 산림에서 정의된 공정한 상관 클러스터링에 대해 다항시간 정확 알고리즘을 제시하며, 산림의 구조적 특성과 공정한 클러스터 크기 제약 조건을 활용하여 동적 계획법을 적용해 PTAS(Polynomial-Time Approximation Scheme)를 달성한다. 주요 결과는 산림에서의 공정한 상관 클러스터링이 PTAS에 속하며, 최소 클러스터 크가 증가할수록 근사 보장이 향상된다는 것이다.

ABSTRACT

The study of algorithmic fairness received growing attention recently. This stems from the awareness that bias in the input data for machine learning systems may result in discriminatory outputs. For clustering tasks, one of the most central notions of fairness is the formalization by Chierichetti, Kumar, Lattanzi, and Vassilvitskii [NeurIPS 2017]. A clustering is said to be fair, if each cluster has the same distribution of manifestations of a sensitive attribute as the whole input set. This is motivated by various applications where the objects to be clustered have sensitive attributes that should not be over- or underrepresented. We discuss the applicability of this fairness notion to Correlation Clustering. The existing literature on the resulting Fair Correlation Clustering problem either presents approximation algorithms with poor approximation guarantees or severely limits the possible distributions of the sensitive attribute (often only two manifestations with a 1:1 ratio are considered). Our goal is to understand if there is hope for better results in between these two extremes. To this end, we consider restricted graph classes which allow us to characterize the distributions of sensitive attributes for which this form of fairness is tractable from a complexity point of view. While existing work on Fair Correlation Clustering gives approximation algorithms, we focus on exact solutions and investigate whether there are efficiently solvable instances. The unfair version of Correlation Clustering is trivial on forests, but adding fairness creates a surprisingly rich picture of complexities. We give an overview of the distributions and types of forests where Fair Correlation Clustering turns from tractable to intractable. The most surprising insight to us is the fact that the cause of the hardness of Fair Correlation Clustering is not the strictness of the fairness condition.

연구 동기 및 목표

• 제한된 그래프 클래스에서 비차별 영향 공정성 모델 하에서 공정한 상관 클러스터링의 해법 가능성에 대해 조사한다.
• 산성 특성의 분포가 산림에서 공정한 클러스터링을 계산적으로 해법 가능하게 되는 조건을 규명한다.
• 일반 그래프에서의 해법 불가능성과 대비하여 산림에서의 공정한 상관 클러스터링에 대해 정확한 해법이 가능한지 탐색한다.
• 어려움의 근본 원인이 공정성 제약 자체가 아니라 산성 특성의 분포임을 입증한다.
• 작은 클러스터 크기에 대해 동적 계획법을, 큰 클러스터 크기에 대해 근사 기법을 조합하여 산림에서의 공정한 상관 클러스터링에 대한 PTAS를 개발한다.

제안 방법

• 최소 공정 클러스터 크기 d ≤ 4일 때 산림에서 최소 비용 공정 클러스터링을 계산하기 위해 동적 계획법을 사용한다.
• 정점들을 색상 기준으로 정렬하고 크기가 d인 클러스터를 형성하는 근사 전략을 적용하여 일정 요소 근사값을 달성한다.
• 간선 잘라내기와 클러스터 크기 제약 조건을 활용해 근사해와 최적 공정 클러스터링 간의 비용 비교를 통해 근사 한계를 유도한다.
• 산림의 트리 구조를 활용해 내부 및 외부 간선 비용을 제한하여 엄밀한 비용 분석을 가능하게 한다.
• 작은 d에 대한 정확한 해와 큰 d에 대한 渐近 근사 기법을 조합하여 PTAS를 구성한다.
• d가 증가함에 따라 근사 요소가 1로 수렴하고, 임의의 고정된 ε > 0에 대해 실행 시간이 n에 대해 다항식임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산성 특성의 분포가 산림에서의 공정한 상관 클러스터링을 해법 가능하게 하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 어려움의 근본 원인이 공정성 제약 자체인지, 아니면 특성 분포인가?
• RQ3 일반 그래프에서 APX-어려움을 보이는 문제임에도 불구하고 산림에서의 공정한 상관 클러스터링에 대해 PTAS를 달성할 수 있는가?
• RQ4 최소 공정 클러스터 크기 d가 근사 품질과 계산 복잡도에 미치는 영향는 어떠한가?
• RQ5 정확한 해법과 근사 기법을 조합하여 산림에서의 공정한 상관 클러스터링에 대한 PTAS를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• d ≤ 4일 경우 정확한 해가 존재하고 d ≥ 5일 경우 5-근사가 존재하므로, 산림에서의 공정한 상관 클러스터링은 APX에 속한다.
• d ≥ 5일 경우 근사 전략은 일정 요소 근사값을 제공하며, d가 증가할수록 이 요소는 1로 수렴한다.
• 논문은 산림에서의 공정한 상관 클러스터링에 대해 PTAS를 확립하였으며, 임의의 ε > 0에 대해 실행 시간이 O(n · poly(1/ε))이다.
• d → ∞일 때 근사 요소는 1로 수렴하고, d = 2인 트리에서는 알고리즘이 3-근사값을 달성한다.
• 어려움의 근본 원인이 공정성 조건이 아니라 산성 특성의 분포임을 입증하였으며, 이는 공정성 조건을 완화해도 결과가 안정됨으로써 확인된다.
• d < 4/ε + 5일 경우 색상 수가 일정하므로, PTAS의 실행 시간은 n에 대해 다항식이며 1/ε에 대해서도 다항식으로 유계이다.